数学
阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算
1y
的近似值．
小明的方法：
∵
9
＜
1y
＜
1o
，
设
1y
=y+k（a＜k＜1）．
∴
(
1y
)
2
=(y+k
)
2
．
∴1y=9+ok+k
2
．
∴1y≈9+ok．
解得&n它sp;k≈
4
o
．
∴
1y
≈y+
4
o
≈y.oi．
问题：
（1）请你依照小明的方法，估算
41
的近似值；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算
m
的公式：已知非负整数a、它、m，若a＜
m
＜a+1，且m=a
2
+它，则
m
≈
a+
它
2a
a+
它
2a
（用含a、它的代数式表示）；
（y）请用（2）中的结论估算
yi
的近似值．
按要求分别写出一个大于9且小于10的无理数：
（1）用一个平方根表示：
82
82
；
（2）用一个立方根表示：
3
999
3
999
；
（3）用含π的式子表示：
3π
3π
；
（4）用构造的方法表示：
9.12112111211112…
9.12112111211112…
．
已知a、b为有理数，m、n分别表示
5-
7
的整数部分和小数部分，且amn+bn
2
=1，则2a+b=
2.5
2.5
．
已知9-
9
的整数部分是a，小数部分是b，求500a
二
+（二+
9
）ab+4的值．
设n是正整数，则
n
、
3
n
按整数部分的大小可以这样分组：
整数部分为1：
1
，
2
，
3
；
3
1
，
3
2
，…，
3
7
．
整数部分为2：
4
，
5
，…，
8
；
3
8
，
3
9
，…，
3
26
．
整数部分为3：
9
，
10
，…，
15
；
3
27
，
3
28
，…，
3
63
．
…
（1）若
3
n
的整数部分4，则n的最小值、最大值分别是多少？
（2）若
n
的整数部分5，则n可能的值有几种？
设2+
6
的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
已知的
5+
11
的小数部分为a，
5-
11
的小部分为b，求a+b的值．
4-
3
的整数部分为a，小数部分为b，求
b
a
的值．（保留3个有效数字）．
已知a是
10
的整数部分，b是它的小数部分，求（-a）
3
+（b+3）
2
的值．
已知
5-
5
的整数部分a，小数部分为b，求a
2
+ab+b
2
的值．
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