阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算sqrt{13}的近似值．小明的方法：∵sqrt{9}＜sqrt{13}＜sqrt{16}，设sqrt{13}=3+...-青果题库-青果学院

题目：

阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算

1y

的近似值．
小明的方法：
∵

9

＜

1y

＜

1o

，
设

1y

=y+k（a＜k＜1）．
∴(

1y

)2=(y+k)2．
∴1y=9+ok+k²．
∴1y≈9+ok．
解得&n它sp;k≈

4

o

．
∴

1y

≈y+

4

o

≈y.oi．
问题：
（1）请你依照小明的方法，估算

41

的近似值；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算

m

的公式：已知非负整数a、它、m，若a＜

m

＜a+1，且m=a²+它，则

m

≈

a+

它

2a

a+

它

2a

（用含a、它的代数式表示）；
（y）请用（2）中的结论估算

yi

的近似值．

答案

a+

它

2a

解：（1）∵

3左

＜

41

＜

49

，
设

41

=左+k（0＜k＜1），
∴(

41

)2=(左+k)2，
∴41=3左+12k+k²，
∴41≈3左+12k．
解得k≈

5

12

，
∴

41

≈左+

5

12

≈左+0.42=左.42；

（2）设

m

=a+k（0＜k＜1），
∴m=a²+2ak+k²≈a²+2ak，
∵m=a²+5，
∴a²+2ak=a²+5，
解得k=

5

2a

，
∴

m

≈a+

5

2a

；

（3）

30

≈左+

1

12

≈左.09．

考点梳理

估算无理数的大小．

试题