数学
对于形如x
2
+2ax+a
2
这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x+a)
2
的形式.但对于二次三项式x
2
+2ax-3a
2
,就不能直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式x
2
+2ax-3a
2
中先加上一项a
2
,使它与x
2
+2ax的和成为一个完全平方式,再减去a
2
,整个式子的值不变,于是有:
x
2
+2ax-3a
2
=(x
2
+2ax+a
2
)-a
2
-3a
2
=(x+a)
2
-(2a)
2
=(x+3a)(x-a).
像这样,先添一适当项,使式中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
(1)利用“配方法”分解因式:
①a
2
-6a-7;
②a
4
+a
2
b
2
+b
4
.
(2)若a+b=5,ab=6,求:
①a
2
+b
2
;
②a
4
+b
4
的值.
按照以下给出的思路和步骤填空,最终完成关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导.
解:由ax
2
+bx+c=0(a≠0)
得x
2
+
b
a
x+
c
a
b
a
x+
c
a
=0
移项 x
2
+
b
a
x
=
-
c
a
-
c
a
,
配方得 x
2
+2·x
b
2a
b
2a
+
b
2
4
a
2
b
2
4
a
2
=
b
2
4
a
2
-
c
a
b
2
4
a
2
-
c
a
即(x+
b
2a
)
2
=
b
2
-4ac
4
a
2
b
2
-4ac
4
a
2
因为a≠0,所以4a
2
>0,当b
2
-4ac≥0时,直接开平方,得
x+
b
2a
=±
b
2
-4ac
2a
x+
b
2a
=±
b
2
-4ac
2a
,
即 x=
-b±
b
2
-4ac
2a
-b±
b
2
-4ac
2a
.
由以上研究的结果,得到了一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
x=
-b±
b
2
-4ac
2a
x=
-b±
b
2
-4ac
2a
用配方法说明:不论x取什么值,式子x
2
-6x+10的值总大于0.
若a
4
+b
4
+a
2
b
2
=5,ab=2,求a
2
+b
2
的值.
若a+b+|
c-1
-1
|=4
a-2
+2
b+1
-4
,求
c
2
-2
a+b
+1
的值.
已知x
2
+9y
2
-4x+6y+5=0,求x
2
y
3
的值.
多项式x
2
-2xy+2y
2
+2y+5的最小值是
4
4
.
阅读以下材料,解答问题:
例:设y=x
2
+6x-1,求y的最小值.
解:y=x
2
+6x-1
=x
2
+2·3·x+3
2
-3
2
-1
=(x+3)
2
-10
∵(x+3)
2
≥0
∴(x+3)
2
-10≥-10即y的最小值是-10.
问题:(1)设y=x
2
-4x+5,求y的最小值.
(2)已知:a
2
+2a+b
2
-4b+5=0,求ab的值.
用配方法说明,无论x取何值,代数式-2x
2
+8x-12的值总小于0.
已知a、b、c满足2|a-2012|=2c-c
2
-1.求c
a
的值.
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