数学
△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2,要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法如图所示,甲种剪法得到正方形ECFD的面积记为S
1
,乙种剪法得到正方形QPNM的面积记为S
2
,比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积更大?下面说法正确的是( )
如图,在△ABC中,若DE∥BC,AD:BD=1:2,若△ADE的面积等于2,则△ABC的面积等于( )
将一副直角三角板(含45°角的直角三角板ABC与含30°角的直角三角板DCB)按图示方式叠放,斜边交点为O,则△AOB与△COD的面积之比等于( )
如图,PA、PB与⊙O切于A、B两点,PC是任意一条割线,且交⊙O于点E、C,交AB于点D.
求证:
A
C
2
B
C
2
=
AD
BD
.
某校学习小组在开展研究性学习中,对同学们常用的两块直角三角板之间的关系进行了研究,发现了一个有趣的现象:“如果一个三角形中∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,当∠A=2∠B时,有a
2
-b
2
=bc”.
(1)请分别在图1和图2中证明上述结论成立;
(2)如图3,△ABC是任意三角形时,上述结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程x
2
+2(k-2)x+k=0(k是整数)的最大整数根. P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点.若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求PA
2
+PB
2
+PC
2
的值.
已知△ADE∽△ABC,其中DE=2,BC=4,AD=3,则DB=
3
3
.
如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连接AC,与DE交于点P.问EP与PD是否相等?证明你的结论.
如图,已知锐角△ABC及其外接圆⊙O,AM是BC边的中线.分别过点B,C作⊙O的切线,两条切线相交于点X,连接AX.求证:
AM
AX
=cos∠BAC
.
下列图①、②、③中的阴影部分分别是以直角三角形的三边为边长所作的正多边形;图④中的阴影部分分别是以直角三角形的三边为直径所作的半圆.根据勾股定理可知:分别以直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积(如图②)
(1)类似的结论,对于图②的结论,对于图①、③、④是否成立?如果成立,请选择其中一个图形进行证明.
(2)根据(1)的结论,你能提出一般性的结论吗?写出你的结论并给予证明.
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