试题

下列图①、②、③中的阴影部分分别是以直角三角形的三边为边长所作的正多边形；图④中的阴影部分分别是以直角三角形的三边为直径所作的半圆．根据勾股定理可知：分别以直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积（如图②）
（1）类似的结论，对于图②的结论，对于图①、③、④是否成立？如果成立，请选择其中一个图形进行证明．
（2）根据（1）的结论，你能提出一般性的结论吗？写出你的结论并给予证明．

（1）解：在图①、③、④中，类似图②的仍成立；
证明：在图①中，设两条直角边a、b为一边的正三角形的面积分别为S₁、S₂，以斜边c为一边的正三角形的面积为S₃，则S1=

1

2

a·(

3

2

a)=

3

2

a2，
S2=

1

2

b·(

3

2

b)=

3

2

b2，
S₃=

1

2

c·（

3

2

c）=

3

2

c²，
∴S₁+S₂=

3

2

（a²+b²）=

3

2

c²=S₃．

（2）结论：如果分别以直角三角形的三边为对应边所作的三个图形相似，
那么其两条直角边上的图形面积之和等于斜边上图形的面积．
证明：设以两直角边a、b为一边的图形的面积分别为S₁、S₂，以斜边c为一边的图形的面积为S₃，
∵分别以a、b、c为对应边的三个图形是相似图形，
∴

S1

S3

=

a2

c2

，

S2

S3

=

b2

c2

，（相似图形面积之比等于相似比的平方）
∴

S1

S3

+

S2

S3

=

a2

c2

+

b2

c2

，

S1+S2

S3

=

a2+b2

c2

=

c2

c2

=1，
∴S₁+S₂=S₃．
（1）解：在图①、③、④中，类似图②的仍成立；
证明：在图①中，设两条直角边a、b为一边的正三角形的面积分别为S₁、S₂，以斜边c为一边的正三角形的面积为S₃，则S1=

1

2

a·(

3

2

a)=

3

2

a2，
S2=

1

2

b·(

3

2

b)=

3

2

b2，
S₃=

1

2

c·（

3

2

c）=

3

2

c²，
∴S₁+S₂=

3

2

（a²+b²）=

3

2

c²=S₃．

（2）结论：如果分别以直角三角形的三边为对应边所作的三个图形相似，
那么其两条直角边上的图形面积之和等于斜边上图形的面积．
证明：设以两直角边a、b为一边的图形的面积分别为S₁、S₂，以斜边c为一边的图形的面积为S₃，
∵分别以a、b、c为对应边的三个图形是相似图形，
∴

S1

S3

=

a2

c2

，

S2

S3

=

b2

c2

，（相似图形面积之比等于相似比的平方）
∴

S1

S3

+

S2

S3

=

a2

c2

+

b2

c2

，

S1+S2

S3

=

a2+b2

c2

=

c2

c2

=1，
∴S₁+S₂=S₃．