试题

题目：
青果学院如图，PA、PB与⊙O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交⊙O于点E、C，交AB于点D．
求证：
AC2
BC2
=
AD
BD
．
答案
青果学院解：如图，连接AE、BE，
由弦切角定理可知，∠PCA=∠PAE，
则△PAC∽△PEA，得
AC
AE
=
PC
PA
，
同理，
BC
BE
=
PC
PB
．
∵PA=PB，
∴
AC
AE
=
BC
BE
，
即
AC
BC
=
AE
BE
，
在⊙O中，由△ACD∽△EBD，△AED∽△CBD，
可得
AC
BE
=
AD
ED
，
AE
BC
=
ED
BD
，
从而
AC
BC
·
AE
BE
=
AD
BD
，
即
AC2
BC2
=
AD
BD
．
青果学院解：如图，连接AE、BE，
由弦切角定理可知，∠PCA=∠PAE，
则△PAC∽△PEA，得
AC
AE
=
PC
PA
，
同理，
BC
BE
=
PC
PB
．
∵PA=PB，
∴
AC
AE
=
BC
BE
，
即
AC
BC
=
AE
BE
，
在⊙O中，由△ACD∽△EBD，△AED∽△CBD，
可得
AC
BE
=
AD
ED
，
AE
BC
=
ED
BD
，
从而
AC
BC
·
AE
BE
=
AD
BD
，
即
AC2
BC2
=
AD
BD
．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
由△PAC∽△PEA，得
AC
AE
=
PC
PA
，同理，
BC
BE
=
PC
PB
，再由△ACD∽△EBD，△AED∽△CBD，可得
AC
BE
=
AD
ED
，
AE
BC
=
ED
BD
，两式相乘即可得出结论．
本题考查了切线的性质、三角形的判定和性质，此题是一个综合题，难度较大．
证明题．
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