试题

题目：
青果学院如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连接AX．求证：
AM
AX
=cos∠BAC．
答案
青果学院证明：设AX与⊙O相交于点A1，连接OB，OC，OA1．又M为BC的中点，
所以，连接OX，它过点M．
∵OB⊥BX，OX⊥BC，
∴XB2=XM·XO．①
又由切割线定理得XB2=XA1·XA．②
由①，②得
XM
XA
=
XA 1
XO
，
∴△XMA∽△XA1O，
∴
AM
AX
=
OA 1
OX
=
OB
OX
．
又∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOX=∠BAC，
∴
AM
AX
=
OB
OX
=cos∠BAC．
青果学院证明：设AX与⊙O相交于点A1，连接OB，OC，OA1．又M为BC的中点，
所以，连接OX，它过点M．
∵OB⊥BX，OX⊥BC，
∴XB2=XM·XO．①
又由切割线定理得XB2=XA1·XA．②
由①，②得
XM
XA
=
XA 1
XO
，
∴△XMA∽△XA1O，
∴
AM
AX
=
OA 1
OX
=
OB
OX
．
又∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOX=∠BAC，
∴
AM
AX
=
OB
OX
=cos∠BAC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；切线长定理；切割线定理．
设AX与⊙O相交于点A1，连接OB，OC，OA1．连接OX过点M，求得XB2=XM·XO．①；利用切割线定理求得XB2=XA1·XA．②；由①，②求证△XMA∽△XA1O，即可求证．
此题考查了相似三角形判定与性质、切线长定理、切割线定理等知识点，综合性较强，有一定的难度，此题的关键是设AX与⊙O相交于点A1，连接OB，OC，OA1．又M为BC的中点，所以，连接OX，它过点M．然后利用切割线定理和相似三角形的性质来求解的．
证明题．
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