数学
若关于x一元二次方程
(m-1)
x
2
+
m+1
x+1=0
有两个实数根，则m的取值范围是
-1≤m≤
5
3
且m≠1
-1≤m≤
5
3
且m≠1
．
已知关于x的一元二次方程kx
2
+2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
k＞-1且k≠0．
k＞-1且k≠0．
．
（2002·浙江）已知关于x的方程x
2
-2（k-1）x+k
2
=0，
（1）当k为何值时，方程有实数根；
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个实数根，且x
1
2
+x
2
2
=4，求k的值．
（2002·三明）这是一位学生编制的初中数学练习题：
“x
1
、x
2
是方程x
2
-2x+2=0的两个实数根，求x
1
2
+x
2
2
的值”．
另一位初三学生的解答是：
“∵x
1
+x
2
=x
1
x
2
=2，∴x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=2
2
-2×2=0”
（1）针对练习题和解答的正误作出判决，再简要说明理由；
（2）只对原练习题的方程进行变式，其它条件不变，求改后的值．
（2002·南通）已知x
1
、x
2
是关于x的-元二次方程x
2
-2（m+2）x+2m
2
-1=0的两个实数根，且满足x
1
2
-x
2
2
=0，求m的值．
（2002·南京）已知：关于x的方程x
2
-kx-2=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x
1
，x
2
，如果2（x
1
+x
2
）＞x
1
x
2
，求k的取值范围．
（2002·连云港）已知关于x的一元二次方程x
2
-2（k+1）x+k
2
-3=0．
（1）若此方程有两个实数根，求实数k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根x
1
、x
2
满足
1
x
1
+
1
x
2
=-
2
3
，求实数k的值．
（2002·荆门）阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a
2
+b
2
+6c+
3
2
=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）
2
-2ab+6c+
3
2
=0．②
将①代入②，整理得4c
2
+2c-2ab+
5
2
=0．∴ab=2c
2
+c+
5
4
③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t
2
-（1-2c）t+2c
2
+c+
5
4
=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）
2
-4（2c
2
+c+
5
4
≥0，即（c+1）
2
≤0．而（c+1）
2
≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t
2
-3t+
9
4
=0．∴t
1
=t
2
=
3
2
，即a=b=
3
2
．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
1-2c
2
+t，b=
1-2c
2
-t．①
∵a
2
+b
2
+6c+
3
2
=0，∴（a+b）
2
-2ab+6c+
3
2
=0．②
将①代入②，得（1-2c）
2
-2
(
1-2c
2
+t)(
1-2c
2
-t)
+6c+
3
2
=0．
整理，得t
2
+（c
2
+2c+1）=0，即t
2
+（c+1）
2
=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
3
2
，b=
3
2
．a=b=
3
2
，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t
2
-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
m
2
+t，y=
m
2
-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a
2
+b
2
+c
2
=12，求证：a=b=c．
（2006·孝感）已知关于x的方程①x
2
+（2k-1）x+（k-2）（k+1）=0和②kx
2
+2（k-2）x+k-3=0．
（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程②有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
（2006·襄阳）已知x
1
、x
2
是方程x
2
-2kx+k
2
-k=0的两个实数根．是否存在常数k，使
x
1
x
2
+
x
2
x
1
=
3
2
成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
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