试题
题目：
（2002·浙江）已知关于x的方程x
2
-2（k-1）x+k
2
=0，
（1）当k为何值时，方程有实数根；
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个实数根，且x
1
2
+x
2
2
=4，求k的值．
答案
解：（1）要使方程有实数根，必须△≥0
即4（k-1）
2
-4k
2
≥0
解得k≤
1
2
，∴当k≤
1
2
时，方程有实数根．
（2）由韦达定理得，x
1
+x
2
=2（k-1），x
1
x
2
=k
2
∴x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=4（k-1）
2
-2k
2
=2k
2
-8k+4，
∵x
1
2
+x
2
2
=4，
∴2k
2
-8k+4=4
解得k
1
=0，k
2
=4，
由（1）知k≤
1
2
，∴k=4不合题意，
∴k=0．
解：（1）要使方程有实数根，必须△≥0
即4（k-1）
2
-4k
2
≥0
解得k≤
1
2
，∴当k≤
1
2
时，方程有实数根．
（2）由韦达定理得，x
1
+x
2
=2（k-1），x
1
x
2
=k
2
∴x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=4（k-1）
2
-2k
2
=2k
2
-8k+4，
∵x
1
2
+x
2
2
=4，
∴2k
2
-8k+4=4
解得k
1
=0，k
2
=4，
由（1）知k≤
1
2
，∴k=4不合题意，
∴k=0．
考点梳理
考点
分析
点评
根与系数的关系；根的判别式．
（1）根据△≥0，确定k的取值范围；
（2）把x
1
2
+x
2
2
=4转化成（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=4，再把x
1
+x
2
=2（k-1），x
1
x
2
=k
2
代入，得到关于k的方程，即可求得k的值．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
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