试题
题目：
（2006·襄阳）已知x
1
、x
2
是方程x
2
-2kx+k
2
-k=0的两个实数根．是否存在常数k，使
x
1
x
2
+
x
2
x
1
=
3
2
成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
答案
解：∵a=1，b=-2k，c=k
2
-k
而△=b
2
-4ac=（-2k）
2
-4（k
2
-k）=4k
∴当k≥0时，方程有实数根；
∵x
1
+x
2
=2k，x
1
x
2
=k
2
-k，
而
x
1
x
2
+
x
2
x
1
=
(
x
1
+
x
2
)
2
-2
x
1
x
2
x
1
x
2
=
4
k
2
-2
(k
2
-k)
k
2
-k
=
3
2
，
整理，解得：k
1
=0，k
2
=-7（舍去），
当k=0时，x
1
=x
2
=0，
x
1
x
2
，
x
2
x
1
无意义；
故不存在常数k，使
x
1
x
2
+
x
2
x
1
=
3
2
成立．
解：∵a=1，b=-2k，c=k
2
-k
而△=b
2
-4ac=（-2k）
2
-4（k
2
-k）=4k
∴当k≥0时，方程有实数根；
∵x
1
+x
2
=2k，x
1
x
2
=k
2
-k，
而
x
1
x
2
+
x
2
x
1
=
(
x
1
+
x
2
)
2
-2
x
1
x
2
x
1
x
2
=
4
k
2
-2
(k
2
-k)
k
2
-k
=
3
2
，
整理，解得：k
1
=0，k
2
=-7（舍去），
当k=0时，x
1
=x
2
=0，
x
1
x
2
，
x
2
x
1
无意义；
故不存在常数k，使
x
1
x
2
+
x
2
x
1
=
3
2
成立．
考点梳理
考点
分析
点评
根与系数的关系；根的判别式．
由于方程有实数根，根据一元二次方程的根的判别式确定k取什么值，然后根据根与系数的关系化简代数式，求出k的值，再检查k的值是否满足原方程有实数根，从而确定是否存在k值．
本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的运用．还应用了怎样化简代数式，及怎样验根．
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