试题
题目：
（2002·南京）已知：关于x的方程x
2
-kx-2=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x
1
，x
2
，如果2（x
1
+x
2
）＞x
1
x
2
，求k的取值范围．
答案
（1）证明：∵关于x的方程x
2
-kx-2=0中，△=（-k）
2
-4×（-2）=k
2
+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根为x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
=k，x
1
·x
2
=-2，
代入不等式2（x
1
+x
2
）＞x
1
x
2
，得
2k＞-2，
k＞-1．
答：k的取值范围是k＞-1．
（1）证明：∵关于x的方程x
2
-kx-2=0中，△=（-k）
2
-4×（-2）=k
2
+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根为x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
=k，x
1
·x
2
=-2，
代入不等式2（x
1
+x
2
）＞x
1
x
2
，得
2k＞-2，
k＞-1．
答：k的取值范围是k＞-1．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系；根的判别式．
（1）只需证明△＞0即可．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和与两根之积，根据2（x
1
+x
2
）＞x
1
x
2
，代入即可得到关于k的不等式，从而求得k的范围．
一元二次方程根的情况与判别式△的关系及根与系数的关系：
（1）△＞0·方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0·方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0·方程没有实数根；
（4）若一元二次方程有实数根，则x
1
+x
2
=-
b
a
，x
1
x
2
=
c
a
．
计算题；证明题．
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