试题
题目：
（2002·连云港）已知关于x的一元二次方程x
2
-2（k+1）x+k
2
-3=0．
（1）若此方程有两个实数根，求实数k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根x
1
、x
2
满足
1
x
1
+
1
x
2
=-
2
3
，求实数k的值．
答案
解：（1）∵方程有两个实数根．
∴△=[-2（k+1）]
2
-4（k
2
-3）≥0．即8k+16≥0．
解得k≥-2．
（2）由根与系数的关系可知：x
1
+x
2
=2（k+1），x
1
·x
2
=k
2
-3．
∵
1
x
1
+
1
x
2
=-
2
3
．
即
x
2
+
x
1
x
1
x
2
=-
2
3
，
把x
1
+x
2
=2（k+1），x
1
·x
2
=k
2
-3代入得
2(k+1)
k
2
-3
=0
∴2k（k+3）=0．
∴k
1
=0，k
2
=-3．
经检验：k
2
=-3不符合题意，k
1
=0是方程的根．
故k=0．
解：（1）∵方程有两个实数根．
∴△=[-2（k+1）]
2
-4（k
2
-3）≥0．即8k+16≥0．
解得k≥-2．
（2）由根与系数的关系可知：x
1
+x
2
=2（k+1），x
1
·x
2
=k
2
-3．
∵
1
x
1
+
1
x
2
=-
2
3
．
即
x
2
+
x
1
x
1
x
2
=-
2
3
，
把x
1
+x
2
=2（k+1），x
1
·x
2
=k
2
-3代入得
2(k+1)
k
2
-3
=0
∴2k（k+3）=0．
∴k
1
=0，k
2
=-3．
经检验：k
2
=-3不符合题意，k
1
=0是方程的根．
故k=0．
考点梳理
考点
分析
点评
根与系数的关系；根的判别式；解分式方程．
（1）利用一元二次方程根的判别式即可得到关于k的不等式，从而求解；
（2）根据根与系数的关系，以及
1
x
1
+
1
x
2
=-
2
3
，即
x
2
+
x
1
x
1
x
2
=-
2
3
即可求解．
解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0·方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0·方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0·方程没有实数根；
（4）x
1
+x
2
=-
b
a
；
（5）x
1
·x
2
=
c
a
．
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