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（2010·郴州）如图（1），抛物线y=x2+x-4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C．
（1）求点A的坐标；
（2）当b=0时（如图（2）），△ABE与△ACE的面积大小关系如何？当b＞-4时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由．
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（2010·北海）如图，在△OAB中，AO=AB，∠OAB=90°，点B坐标为（10，0）．过原点O的抛物线，又过点A和G，点G坐标为（7，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）边OB上一动点T（t，0），（T不与点O、B重合）过点T作OA、AB的垂线，垂足分别为C、D．设△TCD的面积为S，求S的表达式（用t表示），并求S的最大值；
（3）已知M（2，0），过点M作MK⊥OA，垂足为K，作MN⊥OB，交点OA于N．在线段OA上是否存在一点Q，使得Rt△KMN绕点Q旋转180°后，点M、K恰好落在（1）所求抛物线上？若存在请求出点Q和抛物线上与M、K对应的点的坐标，若不存在请说明理由． -
（2009·浙江）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数y=
（k＞0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；k x
（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数．
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（2009·宜宾）如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=
，点B的坐标为（7，4）．4 3
（1）求点A、C的坐标；
（2）求经过点0、B、C的抛物线的解析式；
（3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形
一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
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（2009·雅安）如图，抛物线的顶点A的坐标（0，2），对称轴为y轴，且经过点（-4，4）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若点B的坐标为（0，4），P为抛物线上一点（如图），过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接PB．求证：PQ=PB．
（3）若点C（-2，4），利用（2）的结论．判断抛物线上是否存在一点K，使△KBC的周长最小？若存在，求出这个最小值，并求此时点K的坐标；若不存在，请说明理由． -
（2009·仙桃）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为（
0，2），AB=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若S△APO=
，求矩形ABCD的面积．3 2 -
（2009·陕西）如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP=S△ABO． -
已知，如图，抛物线y=ax2+bx-a的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，顶点坐标为C（0，-4），直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）． -
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．
（1）求该抛物线对应的函数的解析式；
（2）将该抛物线向下平移m（m＞0）个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B、C，若△ABC为等边三角形．
①求m的值；
②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． -
已知：在直角坐标系中，A、B两点是抛物线y=x2-（m-3）x-m与x轴的交点（A在B的右侧），x1、x2分别是A、B两点的横坐标，且|x1-x2|=3．
（1）当m＞0时，求抛物线的解析式．
（2）如果（1）中所求的抛物线与y轴交于点C，问y轴上是否存在点D（不含与C重合的点），使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）一次函数y=kx+b的图象经过抛物线的顶点，且当k＞0时，图象与两坐标轴所围成的面积是
，求一次函数的解析式．1 5