试题

（2009·雅安）如图，抛物线的顶点A的坐标（0，2），对称轴为y轴，且经过点（-4，4）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若点B的坐标为（0，4），P为抛物线上一点（如图），过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接PB．求证：PQ=PB．
（3）若点C（-2，4），利用（2）的结论．判断抛物线上是否存在一点K，使△KBC的周长最小？若存在，求出这个最小值，并求此时点K的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）解：由于抛物线的顶点为（0，2），设其解析式为：y=ax²+2；
将点（-4，4）代入上式，得：a×（-4）²+2=4，a=

1

8

即：抛物线的解析式：y=

1

8

x²+2．

（2）证明：设P（a，

1

8

a²+2），则PQ=

1

8

a²+2．
已知：B（0，4），则 PB=

(a-0)2+( 1 8 a2+2-4)2

=

1

8

a²+2；
即：PQ=PB．

（3）解：如图，过C作CD⊥x轴于D，交抛物线于点K；
由于BC是定值，若△CKB的周长最小，那么 CK+KB 的值需最小．
由（2）知：KD=KB，则CD=CK+KD=CK+KB；
在抛物线上取K点外的任一点P，则：CD=CK+KD＜CP+PQ，即：CK+KB＜CP+BP
因此K点即为所求．
已知C（-2，4），将x=-2代入y=

1

8

x²+2中，得：y=

5

2

，即 K（-2，

5

2

）．
△CKB的最小周长：CK+KB+CB=CD+BC=4+2=6．
（1）解：由于抛物线的顶点为（0，2），设其解析式为：y=ax²+2；
将点（-4，4）代入上式，得：a×（-4）²+2=4，a=

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即：抛物线的解析式：y=

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x²+2．

（2）证明：设P（a，

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a²+2），则PQ=

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a²+2．
已知：B（0，4），则 PB=

(a-0)2+( 1 8 a2+2-4)2

=

1

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a²+2；
即：PQ=PB．

（3）解：如图，过C作CD⊥x轴于D，交抛物线于点K；
由于BC是定值，若△CKB的周长最小，那么 CK+KB 的值需最小．
由（2）知：KD=KB，则CD=CK+KD=CK+KB；
在抛物线上取K点外的任一点P，则：CD=CK+KD＜CP+PQ，即：CK+KB＜CP+BP
因此K点即为所求．
已知C（-2，4），将x=-2代入y=

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x²+2中，得：y=

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2

，即 K（-2，

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2

）．
△CKB的最小周长：CK+KB+CB=CD+BC=4+2=6．