试题

（2010·郴州）如图（1），抛物线y=x²+x-4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C．
（1）求点A的坐标；
（2）当b=0时（如图（2）），△ABE与△ACE的面积大小关系如何？当b＞-4时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由．

解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，-4），

（2）当b=0时，直线为y=x，由

y=x y=x2+x-4

，
解得

x1=2 y1=2

，

x2=-2 y2=-2

．
∴B、C的坐标分别为（-2，-2），（2，2）S△ABE=

1

2

×4×2=4，S△ACE=

1

2

×4×2=4，
∴S_△ABE=S_△ACE．
当b＞-4时，仍有S_△ABE=S_△ACE成立．理由如下
由

y=x+b y=x2+x-4

，
解得

x1= b+4 y1= b+4 +b

，

x2=- b+4 y2=- b+4 +b

．
故B、C的坐标分别为（-

b+4

，-

b+4

+b），（

b+4

，

b+4

+b），
作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，则BF=CG=

b+4

，
而△ABE和△ACE是同底的两个三角形，
∴S_△ABE=S_△ACE．

（3）存在这样的b，
∵BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，
∴△BEF≌△CEG，
∴BE=CE，
即E为BC的中点，
∴当OE=CE时，OE=

1

2

BC，此时△OBC为直角三角形．
∵GE=

b+4

+b-b=

b+4

=GC，
∴CE=

2

·

b+4

，而OE=|b|，
∴

2

·

b+4

=|b|，
解得b₁=4，b₂=-2，
∴当b=4或-2时，△OBC为直角三角形．
解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，-4），

（2）当b=0时，直线为y=x，由

y=x y=x2+x-4

，
解得

x1=2 y1=2

，

x2=-2 y2=-2

．
∴B、C的坐标分别为（-2，-2），（2，2）S△ABE=

1

2

×4×2=4，S△ACE=

1

2

×4×2=4，
∴S_△ABE=S_△ACE．
当b＞-4时，仍有S_△ABE=S_△ACE成立．理由如下
由

y=x+b y=x2+x-4

，
解得

x1= b+4 y1= b+4 +b

，

x2=- b+4 y2=- b+4 +b

．
故B、C的坐标分别为（-

b+4

，-

b+4

+b），（

b+4

，

b+4

+b），
作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，则BF=CG=

b+4

，
而△ABE和△ACE是同底的两个三角形，
∴S_△ABE=S_△ACE．

（3）存在这样的b，
∵BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，
∴△BEF≌△CEG，
∴BE=CE，
即E为BC的中点，
∴当OE=CE时，OE=

1

2

BC，此时△OBC为直角三角形．
∵GE=

b+4

+b-b=

b+4

=GC，
∴CE=

2

·

b+4

，而OE=|b|，
∴

2

·

b+4

=|b|，
解得b₁=4，b₂=-2，
∴当b=4或-2时，△OBC为直角三角形．