试题

题目：
（2009·宜宾）如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=
4
3
，点B的坐标为（7，4）．
（1）求点A、C的坐标；
（2）求经过点0、B、C的抛物线的解析式；
（3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形青果学院一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
答案
青果学院解：（1）过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥OA于E，
在直角三角形ABE中，BE=4，tan∠BAE=
4
3
，
∴AE=3，同理可求得OD=3．
因此C（3，4），A（10，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
则有：
49a+7b=4
9a+3b=4
，
解得
a=-
4
21
b=
40
21
，
∴y=-
4
21
x2+
40
21
x．

（3）假设存在这样的P点，设过P点且与BA平行的直线交BC于M，交AO于N．
易知：BC=DE=4，OA=10，CD=4，
∴S梯形ABCO=
1
2
（BC+OA）·CD=28．
∴S·ANMB=
1
2
S梯形ABCO=14
∴BM=AN=
7
2

∴M（
7
2
，4），N（
13
2
，0）
∴直线MN的解析式为：y=-
4
3
x+
26
3
，联立抛物线的解析式有：
y=-
4
3
x+
26
3
y=-
4
21
x2+
40
21
x
，
解得
x=
17+
107
2
y=-
2
107
+8
3
（不合题意舍去），
x=
17-
107
2
y=
2
107
-8
3
．
∴P（
17-
107
2
，
2
107
-8
3
）．
根据抛物线和等腰梯形的对称性可知P点关于抛物线对称轴的对称点也应该符合题意，
因此符合条件的P点有两个：P（
17-
107
2
，
2
107
-8
3
），（
3+
107
2
，
2
107
-8
3
）．
青果学院解：（1）过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥OA于E，
在直角三角形ABE中，BE=4，tan∠BAE=
4
3
，
∴AE=3，同理可求得OD=3．
因此C（3，4），A（10，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
则有：
49a+7b=4
9a+3b=4
，
解得
a=-
4
21
b=
40
21
，
∴y=-
4
21
x2+
40
21
x．

（3）假设存在这样的P点，设过P点且与BA平行的直线交BC于M，交AO于N．
易知：BC=DE=4，OA=10，CD=4，
∴S梯形ABCO=
1
2
（BC+OA）·CD=28．
∴S·ANMB=
1
2
S梯形ABCO=14
∴BM=AN=
7
2

∴M（
7
2
，4），N（
13
2
，0）
∴直线MN的解析式为：y=-
4
3
x+
26
3
，联立抛物线的解析式有：
y=-
4
3
x+
26
3
y=-
4
21
x2+
40
21
x
，
解得
x=
17+
107
2
y=-
2
107
+8
3
（不合题意舍去），
x=
17-
107
2
y=
2
107
-8
3
．
∴P（
17-
107
2
，
2
107
-8
3
）．
根据抛物线和等腰梯形的对称性可知P点关于抛物线对称轴的对称点也应该符合题意，
因此符合条件的P点有两个：P（
17-
107
2
，
2
107
-8
3
），（
3+
107
2
，
2
107
-8
3
）．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）本题可通过构建直角三角形来求解，过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥OA于E，在直角三角形OCD和ABE中，可根据B点的纵坐标即CD，BE的长和两底角的正切值求出AE，OD的长，即可求出C、A的坐标．
（2）根据已知的三点坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）应该有两个符合条件的P点，以过P且平行于AB的直线为例说明：可设过P且平行于等腰梯形一腰AB的直线与BC、OA的交点为M、N，那么平行四边形MBAN的面积就是梯形面积的一半，据此可求出BM，AN的长，即可求出BM、AN的长，即可求出M、N的坐标也就求出了直线MN的解析式和抛物线的解析式即可求出P点的坐标，根据抛物线和等腰梯形的对称性，求出的P点关于抛物线对称轴的对称点也应该符合题意．
本题考查了等腰梯形的性质、二次函数解析式的确定、以及图形面积的求法等知识点．
压轴题；开放型．
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