试题

已知：在直角坐标系中，A、B两点是抛物线y=x²-（m-3）x-m与x轴的交点（A在B的右侧），x₁、x₂分别是A、B两点的横坐标，且|x₁-x₂|=3．
（1）当m＞0时，求抛物线的解析式．
（2）如果（1）中所求的抛物线与y轴交于点C，问y轴上是否存在点D（不含与C重合的点），使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）一次函数y=kx+b的图象经过抛物线的顶点，且当k＞0时，图象与两坐标轴所围成的面积是

1

5

，求一次函数的解析式．

解：（1）x²-（m-3）x-m=0，
x₁+x₂=m-3，x₁·x₂=-m，
∵|x₁-x₂|=3，
∴（x₁+x₂）²-4x₁·x₂=9，
∴（m-3）²+4m=9，
∵m＞0，
∴m=2，
∴y=x²+x-2=0．
答：当m＞0时，抛物线的解析式是y=x²+x-2．

（2）x²+x-2=0，
x₁=-2，x₂=1，
∴A（1，0），
即OA=1，
把x=0代入得：y=-2，
∴OC=2，
∵以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似，
∠AOC=∠AOD，
∴

OA

OA

=

OD

OC

或

AO

OC

=

OD

OA

，
代入求出OD=OC=2，或OD=

1

2

，
∴D的坐标是（0，2）或（0，

1

2

）．
答：存在点D（不含与C重合的点），使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似，D点的坐标是（0，2）或（0，

1

2

）．

（3）当x=0时，y=b，
当y=0时，x=-

b

k

，
∴|

1

2

b·（-

b

k

）|=

1

5

，①
y=x²+x-2=(x+

1

2

)2-

9

4

，
∴顶点坐标是（-

1

2

，-

9

4

），
代入y=kx+b得：-

9

4

=-

1

2

k+b ②，
由①②组成方程组，解方程组得：

k=7.9 b=3.7

，

k=2.7 b=1.1

，
∴y=7.9x+3.7，y=2.7x+1.1．
答：一次函数的解析式是y=7.9x+3.7或y=2.7x+1.1．
解：（1）x²-（m-3）x-m=0，
x₁+x₂=m-3，x₁·x₂=-m，
∵|x₁-x₂|=3，
∴（x₁+x₂）²-4x₁·x₂=9，
∴（m-3）²+4m=9，
∵m＞0，
∴m=2，
∴y=x²+x-2=0．
答：当m＞0时，抛物线的解析式是y=x²+x-2．

（2）x²+x-2=0，
x₁=-2，x₂=1，
∴A（1，0），
即OA=1，
把x=0代入得：y=-2，
∴OC=2，
∵以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似，
∠AOC=∠AOD，
∴

OA

OA

=

OD

OC

或

AO

OC

=

OD

OA

，
代入求出OD=OC=2，或OD=

1

2

，
∴D的坐标是（0，2）或（0，

1

2

）．
答：存在点D（不含与C重合的点），使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似，D点的坐标是（0，2）或（0，

1

2

）．

（3）当x=0时，y=b，
当y=0时，x=-

b

k

，
∴|

1

2

b·（-

b

k

）|=

1

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，①
y=x²+x-2=(x+

1

2

)2-

9

4

，
∴顶点坐标是（-

1

2

，-

9

4

），
代入y=kx+b得：-

9

4

=-

1

2

k+b ②，
由①②组成方程组，解方程组得：

k=7.9 b=3.7

，

k=2.7 b=1.1

，
∴y=7.9x+3.7，y=2.7x+1.1．
答：一次函数的解析式是y=7.9x+3.7或y=2.7x+1.1．