试题

（2009·浙江）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数y=

k

x

（k＞0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；
（3）若某函数是二次函数y=ax²+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数．

解：（1）如图1，
当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，
∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的边长CD=

2

；∠OCD=∠ODC=45°，
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
设小正方形的边长为a，
易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD=

2

．
解得a=

2

3

，所以小正方形边长为

1

3

2

，
∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为

2

或

2

3

；

（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C点坐标为（2-m，2），
∴2m=2（2-m），解得m=1．
反比例函数的解析式为y=

2

x

．

（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合
1、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=-

3

7

x²+

55

7

；
2、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，
3、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在
4、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（-1，3），对应的函数的解析式是y=

1

8

x²+

23

8

；
5、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，-3）时，对应的函数解析式是y=-

7

40

x2+

223

40

；
6、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（-4，7）时，对应的抛物线为y=

3

7

x²+

1

7

；
∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，
∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．