试题

已知，如图，抛物线y=ax²+bx-a的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，顶点坐标为C（0，-4），直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）．

解：（1）∵顶点C（0，-4），
∴-

b

2a

=0，
解得b=0，
把（0，-4）代入y=ax²+bx-a得，-a=-4，
解得a=4，
所以函数解析式为：y=4x²-4；

（2）令y=0，则4x²-4=0，
解得x₁=-1，x₂=1，
所以点B的坐标为（1，0），
又点C的坐标为（0，-4），
所以OB=1，OC=4，
∵直线x=m（m＞1）与x轴交于点D，
∴BD=m-1，
①OB与BD边是对应边时，

OB

BD

=

OC

PD

，
即

1

m-1

=

4

PD

，
解得PD=4（m-1）=4m-4，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（m，4m-4），
②OB与PD边是对应边时，

OB

PD

=

OC

BD

，
即

1

PD

=

4

m-1

，
解得PD=

m-1

4

，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（m，

m-1

4

），
综上所述，点P的坐标为（m，4m-4）或（m，

m-1

4

）．
解：（1）∵顶点C（0，-4），
∴-

b

2a

=0，
解得b=0，
把（0，-4）代入y=ax²+bx-a得，-a=-4，
解得a=4，
所以函数解析式为：y=4x²-4；

（2）令y=0，则4x²-4=0，
解得x₁=-1，x₂=1，
所以点B的坐标为（1，0），
又点C的坐标为（0，-4），
所以OB=1，OC=4，
∵直线x=m（m＞1）与x轴交于点D，
∴BD=m-1，
①OB与BD边是对应边时，

OB

BD

=

OC

PD

，
即

1

m-1

=

4

PD

，
解得PD=4（m-1）=4m-4，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（m，4m-4），
②OB与PD边是对应边时，

OB

PD

=

OC

BD

，
即

1

PD

=

4

m-1

，
解得PD=

m-1

4

，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（m，

m-1

4

），
综上所述，点P的坐标为（m，4m-4）或（m，

m-1

4

）．