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观察：1×3+3×5=2×32
2×4+4×6=2×42
填空：3×5+5×7=2×522×52
4×6+6×8=2×622×62
…
（1）用含有n的代数式表示你的猜想：n（n+2）+（n+2）（n+4）=2（n+2）2n（n+2）+（n+2）（n+4）=2（n+2）2
（2）请说明猜想的正确性． -
已知13=1=
×12×22，13+23=9=1 4
×22×32，13+23+33=36=1 4
×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：1 4
（1）13+23+33+43+53=225225=
×1 4 552×662．
（2）猜想：13+23+33+…+n3=
×n2×（n+1）21 4 ．
×n2×（n+1）21 4
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+313+143+153+163+…+393+403． -
探索与思考
观察下列等式：
13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102
…
（1）试一试：写出第五个等式：13+23+33+43+53=15213+23+33+43+53=152；
（2）想一想：13+23+33+43+…+103=552；
（3）猜一猜：可得出什么规律？（可用带字母的等式表示，也可用文字表述） -
自然数从1开始按照下表中的顺序排列，
第5行的第5个数1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 16 15 14 13 2121；
第15行的第5个数221221． -
填空：一种电子计算机每秒钟可以107做次运算，它工作102秒可以做多少次运算？
（1）在这道题的计算中，出现了107×102的算式．想一想，根据幂的意义，结果是109109（用幂表示）；
（2）根据的算式及结果，你会发现规律，按你发现的规律，直接写出下列算式的结果：
103×102=105105；105×108=10131013；10m×10m=102m102m． -
填表：
（1）观察并填出上表，你有何发现，将你的发现写在下面横线上（x-y）2=x2-2xy+y2（x-y）2=x2-2xy+y2；
（2）利用你发现的结果计算：20092-2×2009×2000+20002；
（3）请你试试看：计算（n+2）2-2（n+2）（n-2）+（n-2）2的值． -
阅读理解题：
“试判断20001999+19992000的末位数字．”
解：∵20001999的末位数是0，而19992的末位数字是1，
则19992000=（19992）1000的末位数字是1，∴20001999+19992000的末位数字是1．
同学们，根据阅读材料，你能否说明“20002005-19992005的末位数字是多少？”写出你的理由． -
有n个数，第一个记为a1，第二个记为a2；…，第n个记为an，若 a1=
，且从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．1 2
（1）则a2=22；a3=-1-1；a4=1 2 ．1 2
（2）根据（1）的计算结果，猜想a2005=1 2 ；a2006=1 2 22；
（3）计算：a1·a2·a3…a2005·a2006的值． -
观察等式找规律，灵活运用巧计算．
①22-12=（2-1）（a+1）；
②32-12=（3+b）（3+1）；
③42-12=（c-1）（4+1）；
…
（1）求出等式中的a、b、c；
（2）根据你发现的规律，直接写出第n个等式（用含有n的等式表示）；
（3）运用你发现的规律求(1-
)(1-1 22
)(1-1 32
)…(1-1 42
)(1-1 20122
)的值．1 20132 -
探索规律观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19=100100；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=（n+2）2（n+2）2．