数学

（2001·内江）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交y轴于（0，-15），且过点（3，0）和（4，2

）；
（1）求抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，抛物线与x轴的两个交点为A、B，以AB为直径作圆M，过P作⊙M的切线，求所作切线的解析式．

（2001·温州）己知：抛物线y=x²-（k+1）x+k
（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；
（2）如图，若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，

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试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k的值；若不存在，请说明理由．

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（2002·丽水）已知二次函数y=a（x+m）²+k（a≠0）的图象经过原点，当x=1时，函数y的最小值为-1．
（1）求这个二次函数的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数图象的草图；
（2）若这个二次函数图象与x轴的交点为A、B，顶点为C，试判断△ABC的形状．

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（2002·龙岩）已知抛物线y=x²+kx+k-1（-1＜k＜1）．
（1）证明抛物线与x轴总有两个交点；
（2）问该抛物线与x轴的交点分布情况（指交点落在x轴的正、负半轴或在原点等情形），并说明理由；
（3）设抛物线的顶点为C，且与x轴的两个交点A、B，问是否存在以A、B、C为顶点的直角三角形并证明你的结论．（需要画抛物线示意图，请用如下坐标系）

（2002·南昌）已知抛物线y=-x²+bx+c与X轴的两个交点分别为A（m，0），B（n，0），且m+n=4，

．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C，试判断四边形ACBD是怎样的特殊四边形，并证明你的结论．

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（2002·三明）代数式ax²+bx+c（a≠0）当x取1和3时，代数式的值为0．
（1）求b、c分别与a的关系式；
（2）当代数式的值等于-a和3a时，求x；
（3）用y表示上述代数式的值，把所得到的任意一对有序实数对（x，y）作为直角坐标平面内的点的坐标．请在-3＜a＜3的范围内，对a取一个合适的值，画出此时点（x，y）所成图形的示意图，然后观察并写出点（x，y）的位置随x的增大而变化的规律．

（2002·上海）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图1）；
（2）点Q边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图2）；
（3）点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（如图3）．（图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用）．

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（2002·天津）已知二次函数y₁=x²-2x-3．
（1）结合函数y₁的图象，确定当x取什么值时，y₁＞0，y₁=0，y₁＜0；
（2）根据（1）的结论，确定函数y₂=

（|y₁|-y₁）关于x的解析式；
（3）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与函数y₂的图象交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件？

（2002·盐城）已知：如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，2）的直线AB与以坐标原点为圆心，

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径的圆相切于点C，且与x轴的负半轴相交于点B．
（1）求∠BAO的度数；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若一抛物线的顶点在直线AB上，且抛物线的顶点和它与x轴的两个交点构成斜边长为2的直角三角形，求此抛物线的解析式．

（2002·扬州）如图，抛物线y=-ax²+ax+6a交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点D，

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O为坐标原点，抛物线上一点C的横坐标为1．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求证：四边形ABCD的等腰梯形；
（3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

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