试题

（2002·上海）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图1）；
（2）点Q边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图2）；
（3）点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（如图3）．（图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用）．

解：（1）PQ=PB，
证明：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，
△AMP和△CNP都是等腰三角形（如图1）．
∴NP=NC=MB
∵∠BPQ=90°
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°
∴∠QPN=∠PBM．
又∵∠QNP=∠PMB=90°
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴PQ=PB．

（2）由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ=MP．
∵AP=x，
∴AM=MP=NQ=DN=

2

2

x，BM=PN=CN=1-

2

2

x，
∴CQ=CD-DQ=1-2×

2

2

x=1-

2

x
∴S_△PBC=

1

2

BC·BM=

1

2

×1×（1-

2

2

x）=

1

2

-

2

4

x，
S_△PCQ=

1

2

CQ·PN=

1

2

×（1-

2

x）（1-

2

2

x）=

1

2

-

3 2

4

x+

1

2

x²，
∴S_{四边形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ=

1

2

x²-

2

x+1，
即y=

1

2

x²-

2

x+1（0≤x＜

2

2

）．

（3）△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ=QC，△PCQ是等腰三角形，此时x=0；
②当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3），
此时，QN=PM=

2

2

x，CP=

2

-x，CN=

2

2

CP=1-

2

2

x，
∴CQ=QN-CN=

2

2

x-（1-

2

2

x）=

2

x-1，
当

2

-x=

2

x-1时，得x=1．
③BP⊥AC，Q点与C点重合，PQ=CP，△PCQ不存在．
综上所述，x=0或1时，△PCQ为等腰三角形．
解：（1）PQ=PB，
证明：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，
△AMP和△CNP都是等腰三角形（如图1）．
∴NP=NC=MB
∵∠BPQ=90°
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°
∴∠QPN=∠PBM．
又∵∠QNP=∠PMB=90°
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴PQ=PB．

（2）由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ=MP．
∵AP=x，
∴AM=MP=NQ=DN=

2

2

x，BM=PN=CN=1-

2

2

x，
∴CQ=CD-DQ=1-2×

2

2

x=1-

2

x
∴S_△PBC=

1

2

BC·BM=

1

2

×1×（1-

2

2

x）=

1

2

-

2

4

x，
S_△PCQ=

1

2

CQ·PN=

1

2

×（1-

2

x）（1-

2

2

x）=

1

2

-

3 2

4

x+

1

2

x²，
∴S_{四边形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ=

1

2

x²-

2

x+1，
即y=

1

2

x²-

2

x+1（0≤x＜

2

2

）．

（3）△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ=QC，△PCQ是等腰三角形，此时x=0；
②当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3），
此时，QN=PM=

2

2

x，CP=

2

-x，CN=

2

2

CP=1-

2

2

x，
∴CQ=QN-CN=

2

2

x-（1-

2

2

x）=

2

x-1，
当

2

-x=

2

x-1时，得x=1．
③BP⊥AC，Q点与C点重合，PQ=CP，△PCQ不存在．
综上所述，x=0或1时，△PCQ为等腰三角形．