试题

（2002·南昌）已知抛物线y=-x²+bx+c与X轴的两个交点分别为A（m，0），B（n，0），且m+n=4，

m

n

=

1

3

．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C，试判断四边形ACBD是怎样的特殊四边形，并证明你的结论．

解：（1）由解得m=1，n=3，
将A（1，0），B（3，0）的坐标分别代入y=-x²+bx+c，
解得b=4，c=-3，
∴此抛物线的解析式为y=-x²+4x-3．

（2）四边形ABCD是直角梯形．
证明：∵抛物线y=-x²+4x-3与y轴交点坐标为（0，-3）．
∴OC=OB，
又∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
过点D作y轴的平行线交x轴于点E，
∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴顶点D的坐标为（2，1），
DE⊥AB，AE=EB=DE=1，
∴∠DAE=∠DBA=45°，∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠OBC=45°，
即AD∥BC，
又∵∠BAC＞90°，∠ABD=45°，
∴AC与BD不平行．
∴四边形ABCD是直角梯形．
解：（1）由解得m=1，n=3，
将A（1，0），B（3，0）的坐标分别代入y=-x²+bx+c，
解得b=4，c=-3，
∴此抛物线的解析式为y=-x²+4x-3．

（2）四边形ABCD是直角梯形．
证明：∵抛物线y=-x²+4x-3与y轴交点坐标为（0，-3）．
∴OC=OB，
又∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
过点D作y轴的平行线交x轴于点E，
∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴顶点D的坐标为（2，1），
DE⊥AB，AE=EB=DE=1，
∴∠DAE=∠DBA=45°，∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠OBC=45°，
即AD∥BC，
又∵∠BAC＞90°，∠ABD=45°，
∴AC与BD不平行．
∴四边形ABCD是直角梯形．