试题

（2002·三明）代数式ax²+bx+c（a≠0）当x取1和3时，代数式的值为0．
（1）求b、c分别与a的关系式；
（2）当代数式的值等于-a和3a时，求x；
（3）用y表示上述代数式的值，把所得到的任意一对有序实数对（x，y）作为直角坐标平面内的点的坐标．请在-3＜a＜3的范围内，对a取一个合适的值，画出此时点（x，y）所成图形的示意图，然后观察并写出点（x，y）的位置随x的增大而变化的规律．

解：（1）

a+b+c=0 9a+3b+c=0

②-①得，8a+2b=0，即b=-4a，
代入①得，a-4a+c=0，
∴c=3a，
∴b=-4a为所求的关系式．

（2）∵b=-4a，c=3a，
∴ax²+bx+c=ax²-4ax+3a，
由题意知，ax²-4ax+3a=-a，
∵a≠0，
∴x²-4x+4=0，
解得x₁=-2，x₂=2；
又ax²-4ax+3a=3a，
∵a≠0，
∴x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4．

（3）∵-3＜a＜3，且a≠0，
∴取a=1，有y=x²-4x+3，
即y=（x-2）²-1．
∴所成图形为二次函数y=x²-4x+3的图象，顶点坐标为（2，-1），与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）如图，
∴①当x＜2时，点（x，y）的位置随x的增大而减小；
②当x≥2时，点（x，y）的位置随x的增大而增大．
解：（1）

a+b+c=0 9a+3b+c=0

②-①得，8a+2b=0，即b=-4a，
代入①得，a-4a+c=0，
∴c=3a，
∴b=-4a为所求的关系式．

（2）∵b=-4a，c=3a，
∴ax²+bx+c=ax²-4ax+3a，
由题意知，ax²-4ax+3a=-a，
∵a≠0，
∴x²-4x+4=0，
解得x₁=-2，x₂=2；
又ax²-4ax+3a=3a，
∵a≠0，
∴x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4．

（3）∵-3＜a＜3，且a≠0，
∴取a=1，有y=x²-4x+3，
即y=（x-2）²-1．
∴所成图形为二次函数y=x²-4x+3的图象，顶点坐标为（2，-1），与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）如图，
∴①当x＜2时，点（x，y）的位置随x的增大而减小；
②当x≥2时，点（x，y）的位置随x的增大而增大．