试题

（2002·天津）已知二次函数y₁=x²-2x-3．
（1）结合函数y₁的图象，确定当x取什么值时，y₁＞0，y₁=0，y₁＜0；
（2）根据（1）的结论，确定函数y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）关于x的解析式；
（3）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与函数y₂的图象交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件？

解：（1）画出函数y₁=x²-2x-3的图象，
利用它的图象可知：当x＜-1或x＞3时，y₁＞0；
当x=-1或x=3时，y₁=0；
当-1＜x＜3时，y₁＜0；

（2）根据（I）的结论，可得
当x≤-1或x≥3时，|y₁|=y₁，
于是函数y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）=

1

2

（y₁-y₁）=0，
当-1＜x＜3时，|y₁|=-y₁，
于是函数y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）=

1

2

（-y₁-y₁）=-y₁
∴函数y₂关于x的解析式为y2=

0(x≤-1或x≥3) -x2+2x+3(-1＜x＜3)

；

（3）由题设条件，k≠0时，一次函数y=kx+b的图象与函数y₂的图象有三个交点，
只需一次函数的图象与函数y₂的图象在-1＜x＜3的范围内有两个交点，
即方程组

y=kx+b y=-x2+2x+3(-1＜x＜3)

有两个不等的实数根，
消去y，得：
x²+（k-2）x+（b-3）=0．
即只需二次函数y=x²+（k-2）x+（b-3）的图象与x轴的两个交点在-1＜x＜3范围
内．此时，应同时满足以下三个条件：
①判别式△=（k-2）²-4（b-3）＞0．
即b＜

1

4

(k-2)2+3，
②二次函数y=x²+（k-2）x+（b-3）图象的对称轴为x=

k-2

2

满足-1＜-

k-2

2

＜3
得-4＜k＜4．
又k≠0，
∴-4＜k＜0或0＜k＜4．
③当x=-1与x=3时，y=x²+（k-2）x+（b-3）的函数值均应大于0，
即

(-1)2+(k-2)×(-1)+(b-3)＞0 9+3(k-2)+(b-3)＞0

解得

b＞k b＞-3k

∴当k＞0时，有b＞k；
当k＜0时，有b＞-3k．
综上，由（1）（2）（3）知，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与函数y₂的图象有三个不
同的交点时，应满足

-4＜k＜0 -3k＜b＜ 1 4 (k-2)2+3

或

0＜k＜4 k＜b＜ 1 4 (k-2)2+3

．
解：（1）画出函数y₁=x²-2x-3的图象，
利用它的图象可知：当x＜-1或x＞3时，y₁＞0；
当x=-1或x=3时，y₁=0；
当-1＜x＜3时，y₁＜0；

（2）根据（I）的结论，可得
当x≤-1或x≥3时，|y₁|=y₁，
于是函数y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）=

1

2

（y₁-y₁）=0，
当-1＜x＜3时，|y₁|=-y₁，
于是函数y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）=

1

2

（-y₁-y₁）=-y₁
∴函数y₂关于x的解析式为y2=

0(x≤-1或x≥3) -x2+2x+3(-1＜x＜3)

；

（3）由题设条件，k≠0时，一次函数y=kx+b的图象与函数y₂的图象有三个交点，
只需一次函数的图象与函数y₂的图象在-1＜x＜3的范围内有两个交点，
即方程组

y=kx+b y=-x2+2x+3(-1＜x＜3)

有两个不等的实数根，
消去y，得：
x²+（k-2）x+（b-3）=0．
即只需二次函数y=x²+（k-2）x+（b-3）的图象与x轴的两个交点在-1＜x＜3范围
内．此时，应同时满足以下三个条件：
①判别式△=（k-2）²-4（b-3）＞0．
即b＜

1

4

(k-2)2+3，
②二次函数y=x²+（k-2）x+（b-3）图象的对称轴为x=

k-2

2

满足-1＜-

k-2

2

＜3
得-4＜k＜4．
又k≠0，
∴-4＜k＜0或0＜k＜4．
③当x=-1与x=3时，y=x²+（k-2）x+（b-3）的函数值均应大于0，
即

(-1)2+(k-2)×(-1)+(b-3)＞0 9+3(k-2)+(b-3)＞0

解得

b＞k b＞-3k

∴当k＞0时，有b＞k；
当k＜0时，有b＞-3k．
综上，由（1）（2）（3）知，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与函数y₂的图象有三个不
同的交点时，应满足

-4＜k＜0 -3k＜b＜ 1 4 (k-2)2+3

或

0＜k＜4 k＜b＜ 1 4 (k-2)2+3

．