数学
（2004·苏州）已知关于x的一元二次方程ax
2
+x-a=0（a≠0）．
（1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根；
（2）设x
1
、x
2
是该方程的两个根，若|x
1
|+|x
2
|=4，求a的值．
（2004·绍兴）课本第五册第65页有一题：
已知一元二次方程ax
2
-
2
bx+c=0的两个根满足|x
1
-x
2
|=
2
，且a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．
小敏解得此题的正确答案“∠B=120°”后，思考以下问题，请你帮助解答．
（1）若在原题中，将方程改为ax
2
-
3
bx+c=0，要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么应对条件中的|x
1
-x
2
|的值作怎样的改变并说明理由；
（2）若在原题中，将方程改为ax
2
-
n
bx+c=0（n为正整数，n≥2），要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么条件中的|x
1
-x
2
|的值应改为多少？（不必说明理由）
（2004·金华）已知x
1
、x
2
是关于x的方程x
2
-2x+t+2=0的两个不相等的实数根．
（1）求t的取值范围；
（2）设S=x
1
·x
2
，求S关于t的函数关系式．
（2003·肇庆）已知关于x的方程（k
2
+2）x
2
+（2k-3）x+1=0，其中k为常数，试分析此方程的根的情况．
（2003·茂名）王老师要求学生进行编题．解题训练，其中小聪同学编的练习题是：
设k=3，方程x
2
-3x+k=0的两个实数根是x
1
，x
2
，求
x
2
x
1
+
x
1
x
2
的值．
小明同学对这道题的解答过程是：
解：∵k=3，∴已知方程是x
2
-3x+3=0，
又∵x
1
+x
2
=3，x
1
·x
2
=3，
∴
x
2
x
1
+
x
1
x
2
=
x
2
2
+
x
2
1
x
1
·
x
2
=
(
x
1
+
x
2
)
2
-2
x
1
x
2
x
1
·
x
2
=
3
2
-2×3
3
=
9-6
3
=1
即
x
2
x
1
+
x
1
x
2
=1．
（1）请你针对以上的练习题和解答的正误作出判断，再简述理由；
（2）请你只对小聪同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，改求
x
1
+
x
2
x
1
·
x
2
的值．
（2003·荆州）已知：关于x的一元二次方程x
2
+（2k+1）x+k-1=0；其中k为实数．
（1）求证：不论k取什么实数，方程都有两个不同的实根；
（2）设方程的两根为x
1
，x
2
，且满足2x
1
+x
2
=3，求实数k的值；
（2003·淮安）已知关于x的一元二次方程x
2
-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．
某同学的解答如下：
解：设x
1
、x
2
是方程的两根，
由根与系数的关系，得x
1
+x
2
=-m，x
1
x
2
=2m-1；
由题意，得x
1
2
+x
2
2
=23；
又x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
；
∴m
2
-2（2m-1）=23．
解之，得m
1
=7，m
2
=-3，
所以，m的值为7或-3．
上述解答中有错误，请你指出错误之处，并重新给出完整的解答．
（2003·广东）已知x
1
、x
2
为方程x
2
+px+q=0的两根，且x
1
+x
2
=6，x
1
2
+x
2
2
=20，求p和q的值．
在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x
2
+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长=
12
12
．
关于x的一元二次方程x
2
-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是
m≤1
m≤1
；不等式组
1-x＞0
x＜0
的解集是
x＜0
x＜0
．
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