试题

题目：
（2003·茂名）王老师要求学生进行编题．解题训练，其中小聪同学编的练习题是：
设k=3，方程x2-3x+k=0的两个实数根是x1，x2，求
x2
x1
+
x1
x2
的值．
小明同学对这道题的解答过程是：
解：∵k=3，∴已知方程是x2-3x+3=0，
又∵x1+x2=3，x1·x2=3，
∴
x2
x1
+
x1
x2
=
x
2
2
+
x
2
1
x1·x2
=
(x1+x2)2-2x1x2
x1·x2
=
32-2×3
3
=
9-6
3
=1
即
x2
x1
+
x1
x2
=1．
（1）请你针对以上的练习题和解答的正误作出判断，再简述理由；
（2）请你只对小聪同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，改求
x1+x2
x1·x2
的值．
答案
解：（1）错误；当k=3时，方程x2-3x+k=0即化为方程x2-3x+3=0，
△=（-3）2-4×1×3=-3＜0，故方程无实根．

（2）要使方程x2-3x+k=0有两个实数根，
则△=（-3）2-4k≥0，即k≤
9
4
，故可取k=2，
则原方程变为x2-3x+2=0，
∵x1+x2=3，x1·x2=2，
x2
x1
+
x1
x2
=
(x2+x1)2-2x1x2
x1x2
=
32-2×2
2
=
5
2
．
解：（1）错误；当k=3时，方程x2-3x+k=0即化为方程x2-3x+3=0，
△=（-3）2-4×1×3=-3＜0，故方程无实根．

（2）要使方程x2-3x+k=0有两个实数根，
则△=（-3）2-4k≥0，即k≤
9
4
，故可取k=2，
则原方程变为x2-3x+2=0，
∵x1+x2=3，x1·x2=2，
x2
x1
+
x1
x2
=
(x2+x1)2-2x1x2
x1x2
=
32-2×2
2
=
5
2
．
考点梳理
根与系数的关系；根的判别式．
（1）首先要判断方程的两根是否存在，即△≥0是否成立；
（2）取一个使△≥0的k的值后，根据
x2
x1
+
x1
x2
=
(x2+x1)2-2x1x2
x1x2
，代入求值．
此类题目是中学阶段常规题目，解答时一定要先根据判别式△判断方程根的情况，再根据根与系数的关系解答，不能盲目计算．
阅读型．
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