试题

题目：
在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长=
12
12
．
答案
12

解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，
∴△=（b+2）2-4（6-b）=0，即b2+8b-20=0；
解得b=2，b=-10（舍去）；
①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；
②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；
此时△ABC的周长为：5+5+2=12．
故答案为12．
考点梳理
根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
先由关于x的一元二次方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，得出根的判别式△=0，据此求出b的值；再由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．
此题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式（△=b2-4ac）之间的关系、根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理，综合性较强，难度中等．注意在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在满足三角形三边关系定理的条件下分类讨论，以免造成多解、错解．
综合题；分类讨论；方程思想．
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