试题

题目：
（2003·荆州）已知：关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k-1=0；其中k为实数．
（1）求证：不论k取什么实数，方程都有两个不同的实根；
（2）设方程的两根为x1，x2，且满足2x1+x2=3，求实数k的值；
答案
解：（1）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k-1=0中，
△=（2k+1）2-4（k-1）=4k2+5＞0，
∴不论k取什么实数，方程都有两个不同的实根；

（2）因为x1+x2=-2k-1，
所以x1=3-（x1+x2）=3-（-2k-1）=2k+4，
代入2x1+x2=3得，
x2=3-2（2k+4）=-4k-5，
又因为x1x2=k-1，
所以（-4k-5）（4+2k）=k-1，
整理得8k2+27k+19=0，
解得k=-1，k=-
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8
．
解：（1）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k-1=0中，
△=（2k+1）2-4（k-1）=4k2+5＞0，
∴不论k取什么实数，方程都有两个不同的实根；

（2）因为x1+x2=-2k-1，
所以x1=3-（x1+x2）=3-（-2k-1）=2k+4，
代入2x1+x2=3得，
x2=3-2（2k+4）=-4k-5，
又因为x1x2=k-1，
所以（-4k-5）（4+2k）=k-1，
整理得8k2+27k+19=0，
解得k=-1，k=-
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考点梳理
根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．
（1）利用一元二次方程根的判别式就可以证明结论；
（2）利用根与系数的关系把所求代数式化成两根之和或两根之积的形式，然后得到关于k的方程，解方程即可求出k值．
解答此题不仅要会解方程，还要根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系解答，方程有两个不相等的实数根即△＞0；另外（2）考查了一元二次方程的根与系数的关系，把求k的值的问题转化为解方程得问题．
计算题；证明题．
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