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如图1，△DEF的顶点D在△ABC的边BC上（不与B、C重合），且∠BAC+∠EDF=180°，AB=k·DF，AC=k·DE，点Q为EF的中点，直线DQ交直线AB于点P．
（1）猜想∠BPD与∠FDB的关系，并加以证明；
（2）当△DEF绕点D旋转，其他条件不变，（1）中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）．
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如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一动点，BD=nCD，CE⊥AD于F，
交AB于E．
（1）若n=1，则
=DF CF 1 2 ．1 2
=BD AF 5 4 ．5 4
（2）若n=2，求
的值．BE AE
（3）当n=3 2 时，3 2
=BE AE
．2 5 -
已知：·ABCD中，AC⊥CD，点E在射线CB上，点F在射线DC上，且∠EAF=∠B．
（1）当∠BAD=135°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上（如图1），求证：BE+
DF=AD；2 2
（2）当∠BAD=120°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上（如图2），则AD、BE、DF之间的数量关系是2BE+DF=AD2BE+DF=AD；
（3）当∠BAD=120°时，连接EF，设直线AF、直线BC交于点Q，当AB=3，BE=2时，求EQ和EF的长．
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在△ABC中，AB=m·AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD交BC于点E．
（1）如图1，当m=1时，探究BE与EC的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当m≠1时，探究BE与EC的数量关系，并加以证明． -
把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF长均为4．
（1）当EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值；
（2）现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α＜30°（如图②），EG交AC于点K，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；
（3）在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时，0°＜α≤90°，是否存在
某位置使△BFG是等腰三角形？若存在，请直接写出相应的旋转角α；若不存在，说明理由．
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如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，弦AD交BC于点E，AE=4，ED=2，求AB的长．
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如图（1），△ABD和△CEF是两个全等的等腰三角形，AB=AD=CE=CF，固定△ABD．
（1）操作：如图（2），将△CEF的顶点F固定在△ABD的边BD的中点处，△CEF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：△BHF∽△DFG．
（2）操作：如图（3），△ECF的顶点F在△ABD的边BD上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．求证：FD+DG=EF=DB．
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如图（1），在锐角三角形ABC中，AB＞BC＞AC．D、E分别是AB、BC边上的两个动点，连接DE、CD．
（1）当点D、E运动时，分别在图（2）、图（3）中画出D．E运动的位置，要求在图（2）中，仅有一组三角形相似，在图（2）中，仅有两组三角形相似．
（2）当AB=9，BC=8，CA=6时，选择（1）中的图（3），即有两组三角形相似时，求DE的长．
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已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求
的值；AP PC
（2）如图2，当OA=OB，
=AD AO
时，求△BPC与△ACO的面积之比．1 4 
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综合实践
问题背景
某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，A2，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．
探索
如图2，在平面直角坐标系xOy中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=m，AD=n（m≤n），将纸片折叠，MN是折痕，使点B落在边AD上的E处，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，交直线MN于点P，连接OP
（1）求证：四边形OMEP是菱形；
（2）设点P坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（用含m、n的式子表示）
运用
（3）将长方形纸片ABCD如图3所示放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在K，使得△KCF的面积是△KOC面积的
，若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．5 3 