试题

题目：
在△ABC中，AB=m·AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD交BC于点E．
青果学院青果学院
（1）如图1，当m=1时，探究BE与EC的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当m≠1时，探究BE与EC的数量关系，并加以证明．
答案
青果学院解：（1）BE=2EC．
证明：过点A作AG∥BC与BD的延长线相交于点G，
∴∠GAD=∠C，∠G=∠FBE，
∵BD是中线，∴AD=CD，
∵∠ADG=∠CDB，
∴△ADG≌△BDC．
∴∠G=∠FBE，AG=BC．
设AD=DC=1，
则AB=2，BD=
22+12
=
5
，BC=2
2
．
∴AF=1×2÷
5
=
2
5
5
．
∴BF=
22-(
2
5
5
)2
=
4
5
5
，DF=
12-(
2
5
5
)2
=
5
5
．
∴GF=
6
5
5
，
∵∠G=∠FBE，∠GAF=∠BEF，
∴△BEF∽△GAF，
∴BE=2
2
×
4
5
5
÷
6
5
5
=
4
2
3
，
∴CE=
2
2
3
，
∴BE=2CE．

（2）BE=2m2CE．
证明：过点A作AG∥BC与BD的延长线相交于点G，青果学院
∴∠GAD=∠C，∠G=∠FBE，
∵BD是中线，∴AD=CD，
∴△ADG≌△BDC．
∴AG=BC．
设AD=DC=1，
则AB=2m，BD=
4m2+1
，BC=2
m2+1
．
∴AF=1×2m÷
4m2+1
．
∴BF=
(2m)2-(
2m
4m2+1
)2
=
4m2
4m2+1
4m2+1
，GF=BG-BF=2BD-BF=
4m2+2
4m2+1
4m2+1
．
∵∠G=∠FBE，∠GAF=∠BEF，
∴△BEF∽△GAF，
∴BE：AG=BF：GF=
2m2
2m2+1

∵AG=BC，
∴BE：BC=
2m2
2m2+1
，
∴BE：CE=2m2：1，
∴BE=2m2CE．
青果学院解：（1）BE=2EC．
证明：过点A作AG∥BC与BD的延长线相交于点G，
∴∠GAD=∠C，∠G=∠FBE，
∵BD是中线，∴AD=CD，
∵∠ADG=∠CDB，
∴△ADG≌△BDC．
∴∠G=∠FBE，AG=BC．
设AD=DC=1，
则AB=2，BD=
22+12
=
5
，BC=2
2
．
∴AF=1×2÷
5
=
2
5
5
．
∴BF=
22-(
2
5
5
)2
=
4
5
5
，DF=
12-(
2
5
5
)2
=
5
5
．
∴GF=
6
5
5
，
∵∠G=∠FBE，∠GAF=∠BEF，
∴△BEF∽△GAF，
∴BE=2
2
×
4
5
5
÷
6
5
5
=
4
2
3
，
∴CE=
2
2
3
，
∴BE=2CE．

（2）BE=2m2CE．
证明：过点A作AG∥BC与BD的延长线相交于点G，青果学院
∴∠GAD=∠C，∠G=∠FBE，
∵BD是中线，∴AD=CD，
∴△ADG≌△BDC．
∴AG=BC．
设AD=DC=1，
则AB=2m，BD=
4m2+1
，BC=2
m2+1
．
∴AF=1×2m÷
4m2+1
．
∴BF=
(2m)2-(
2m
4m2+1
)2
=
4m2
4m2+1
4m2+1
，GF=BG-BF=2BD-BF=
4m2+2
4m2+1
4m2+1
．
∵∠G=∠FBE，∠GAF=∠BEF，
∴△BEF∽△GAF，
∴BE：AG=BF：GF=
2m2
2m2+1

∵AG=BC，
∴BE：BC=
2m2
2m2+1
，
∴BE：CE=2m2：1，
∴BE=2m2CE．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理．
（1）过点A作AG∥BC与BD的延长线相交于点G，则可得到三角形ADG全等于三角形BDC，设AD=DC=1，分别算出BF，DF的长，利用△BEF∽△GAF的相似比可求得BE的长度，从而求得EC的长度，可求BE=2EC．
（2）仿照第1问求解．
本题计算量大，难度大，综合考查三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质及勾股定理等知识．
综合题．
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