试题

已知：·ABCD中，AC⊥CD，点E在射线CB上，点F在射线DC上，且∠EAF=∠B．
（1）当∠BAD=135°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上（如图1），求证：BE+

2

2

DF=AD；
（2）当∠BAD=120°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上（如图2），则AD、BE、DF之间的数量关系是；
（3）当∠BAD=120°时，连接EF，设直线AF、直线BC交于点Q，当AB=3，BE=2时，求EQ和EF的长．

解：（1）证明：∵∠BAD=135°，且∠BAC=90°，
∴∠CAD=45°，即△ABC、△ADC都是等腰直角三角形；
∴AD=

2

AC，且∠D=∠ACB=45°；
又∵∠EAC=∠DAF=45°-∠FAC，
∴△AEC∽△AFD，
∴AE：AD=EC：FD=1：

2

，即EC=

2

2

FD；
∴BC=BE+

2

2

DF，即BE+

2

2

DF=AD．

（2）2BE+DF=AD；理由如下：
取BC的中点G，连接AG；
易知：∠DAC=∠BCA=30°，∠B=∠D=60°；
在Rt△ABC中，G是斜边BC的中点，则：
∠AGE=60°，AD=BC=2AG；
∵∠GAD=∠AGE=60°=∠EAF，
∴∠EAG=∠FAD=60°-∠GAF；
又∵∠AGE=∠D=60°，
∴△AGE∽△ADF，得：AG：AD=EG：FD=1：2；
即FD=2EG；
∴BC=2BG=2（BE+EG）=2BE+2EG=2BE+DF，即AD=2BE+DF．

（3）在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=3，则BC=AD=6，EC=4．
①如图（2）①，过F作FH⊥BQ于H；
同（2）可知：DF=2EG=2，CF=CD-DF=1；
在Rt△CFH中，∠FCH=60°，则：
CH=

1

2

，FH=

3

2

；
易知：△ADF∽△QCF，由DF=2CF，可得CQ=

1

2

AD=3；
∴EQ=EC+CQ=4+3=7；
在Rt△EFH中，EH=EC+CH=

9

2

，FH=

3

2

；
由勾股定理可求得：EF=

21

．
②如图（2）②；
∵∠EAF=∠GAD=60°，
∴∠EAG=∠FAD=60°+∠FAG，
又∵∠EGA=∠D=60°，
∴△EAG∽△FAD，得：EG：FD=AG：AD=1：2；
即FD=2EG=10，FC=10-CD=7；
在Rt△FCN中，∠FCN=60°，
易求得FN=

7 3

2

，NC=

7

2

，GN=

1

2

；
在等边△ABG中，AM⊥BG，易求得AM=

3 3

2

，MG=

3

2

，MN=MG-GN=1；
由于△AMQ∽△FNQ，得：AM：FN=MQ：NQ=3：7，即QN=

7

10

，MQ=

3

10

；
EQ=EB+BM+MQ=2+

3

2

+

3

10

=

19

5

；
Rt△EFN中，EN=EG-NG=5-

1

2

=

9

2

，FN=

7 3

2

，
由勾股定理，得：EF=

57

；
综上可知：EQ=7或

19

5

，EF=

21

或

57

．