试题

题目：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一动点，BD=nCD，CE⊥AD于F，青果学院交AB于E．
（1）若n=1，则
DF
CF
=
1
2
1
2
．
BD
AF
=
5
4
5
4
．
（2）若n=2，求
BE
AE
的值．
（3）当n=
3
2
3
2
时，
BE
AE
=
2
5
．
答案
1
2

5
4

3
2

解：（1）∵∠CDF=∠CDA，∠CFD=∠ACB=90°，
∴△DFC∽△DCA，
∴
DF
CF
=
DC
AC
，
又∵AC=BC，BD=CD=
1
2
BC，
∴
DF
CF
=
1
2
，
设DF=x，则CF=2x，CD=
5
x，AC=2
5
x，由勾股定理得，AF=
AC2-CF2
=4x，
∴
BD
AF
=
5
4
；

（2）过点A作BC的平行线，与CE的延长线交于点G，则△CAG∽△DCA，△AEG∽△BEC，青果学院
设CD=x，则BD=nx，AC=BC=x+nx，
∵
CD
AC
=
AC
AG
，
∴AG=（n+1）2x，又
BE
AE
=
BC
AG
=
1
n+1
，
∴当n=2时，
BE
AE
=
1
3
．

（3）由（2）知，
BE
AE
=
1
n+1
，令
1
n+1
=
2
5
，解得n=
3
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理．
（1）由条件可判定△DFC∽△DCA，得
DF
CF
=
DC
AC
，又知AC=BC，所以
DF
CF
=
1
2
，从而可得
BD
AF
=
5
4
；
（2）通过解直角三角形可知BE：AE=1：3；
（3）同理反过来可解得n=
3
2
．
本题主要考查相似三角形的判定及性质，涉及到直角三角形的性质知识点．
几何综合题．
找相似题