试题

综合实践
问题背景
某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A₁，A₂，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．
探索
如图2，在平面直角坐标系xOy中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=m，AD=n（m≤n），将纸片折叠，MN是折痕，使点B落在边AD上的E处，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，交直线MN于点P，连接OP
（1）求证：四边形OMEP是菱形；
（2）设点P坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（用含m、n的式子表示）
运用
（3）将长方形纸片ABCD如图3所示放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在K，使得△KCF的面积是△KOC面积的

5

3

，若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵AB∥EQ，
∴∠OMP=∠EPM，
∵∠EPM=∠OPM，
∴∠OMP=∠OPM，
∴OM=OP，
∵OM=EM，OP=EP，
∴四边形OMEP是菱形．

（2）∵E点的坐标为（x，m），
OP=EP=m-y，
∴（m-y）²=x²+y²．
y=-

x2

2m

+

m

2

（0＜x＜

m2+n2

2n

）．

（3）根据（2）知，点K的坐标为（x，-

x2

16

+4）．
设EC的长为x，DE=BE=12-x，DC=8，
x²+8²=（12-x）²
x=

10

3

．
同理：GH=

10

3

，DH=

26

3

，
△ECF∽△DHF，
∴

EC

DH

=

CF

DF

，
即

10 3

26 3

=

CF

CF+8

，
解得CF=5，
∴△ECF的面积为：

1

2

CE·CF=

1

2

×

10

3

×5=

25

3

．
△OCK的面积为：

1

2

×12（-

x2

16

+4）．
△KCF的面积：

1

2

×

10

3

（-

x2

16

+4）+

25

3

．
根据△KCF的面积是△KOC面积得，

5

3

×

1

2

×12（-

x2

16

+4）=

1

2

×

10

3

（-

x2

16

+4）+

25

3

，
可求出x=4

3

，
所以K的坐标为：（4

3

，1）．
解：（1）∵AB∥EQ，
∴∠OMP=∠EPM，
∵∠EPM=∠OPM，
∴∠OMP=∠OPM，
∴OM=OP，
∵OM=EM，OP=EP，
∴四边形OMEP是菱形．

（2）∵E点的坐标为（x，m），
OP=EP=m-y，
∴（m-y）²=x²+y²．
y=-

x2

2m

+

m

2

（0＜x＜

m2+n2

2n

）．

（3）根据（2）知，点K的坐标为（x，-

x2

16

+4）．
设EC的长为x，DE=BE=12-x，DC=8，
x²+8²=（12-x）²
x=

10

3

．
同理：GH=

10

3

，DH=

26

3

，
△ECF∽△DHF，
∴

EC

DH

=

CF

DF

，
即

10 3

26 3

=

CF

CF+8

，
解得CF=5，
∴△ECF的面积为：

1

2

CE·CF=

1

2

×

10

3

×5=

25

3

．
△OCK的面积为：

1

2

×12（-

x2

16

+4）．
△KCF的面积：

1

2

×

10

3

（-

x2

16

+4）+

25

3

．
根据△KCF的面积是△KOC面积得，

5

3

×

1

2

×12（-

x2

16

+4）=

1

2

×

10

3

（-

x2

16

+4）+

25

3

，
可求出x=4

3

，
所以K的坐标为：（4

3

，1）．