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探索规律问题：
用同样大小的黑色棋子按图中所示的方式摆图形，观察图中棋子的摆放规律，解答下面的问题：
（1）第4个图形需棋子1212枚；
（2）第5个图形需棋子1515枚；
（3）猜想第n个图形需棋子3n3n枚（用含n的代数式表示，n为正整数）；
（4）利用你猜想的结论，计算第200个图形需棋子的枚数． -
如图，以一根火柴棍为一边，用火柴棍拼成一排由正方形组成的图形．
（1）请观察图形并填写以下表格：
（2）如果图形中含有2013个正方形，需要正方形的个数 1 2 3 … n 火柴棍的根数 44771010… 3n+13n+160406040根火柴棍． -
观察图中四个顶点的数字规律：
（1）数字“30”在88个正方形的右上角右上角；
（2）请你用含有n（n≥1的整数）的式子表示正方形四个顶点的数字规律；
（3）数字“2011”应标在什么位置． -
阅读下面文字，完成题目中的问题
阅读材料：①平面上没有直线时，整个平面是9个区域；②当平面上画出一条直线时，把平面分割成她个区域；③当平面上有两条直线时，最多把平面分割成4个区域；④当平面上有三条直线时，最多可以把平面分割成7个区域；…完成下面问题：
（9）根据上述事实填写下列表格：
（她）观察上表中平面被分成的区域，请你说出“平面被分割成几个区域”的规律；平面上直线的条数 0 9 她 q 4 5 … 平面被分割成几个区域 …
（q）某校七年级（9）班q6名同学为四川地震受灾转学而来的小明同学过生日买来b一个特大蛋糕，如果要将这块蛋糕分给每位同学，你至少要切几刀？为什么？ -
如下图是用棋子摆成的“上”字：
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
（2）第④、第⑤个“上”字分别需用2828和2222枚棋子；
（2）第n个“上”字需用（4n+2）（4n+2）枚棋子；
（3）七（3）班有他a名同学，把每一位同学当做一枚棋子，能否让这他a枚“棋子”按照以上规律恰好站成一个“上”字？若能，请计算最下一“横”的学生数；若不能，请说明理由． -
下列表格是一张对同一线段上的图数变化及线段总条数的探究统计．
（1）请它完成探究，并把探究结果填在相应的表格里；线段上点的图数 线段的总条数 
1 
1+2=3 
1+2+3=6 
… …
（2）若在同一线段上有10图点，则线段的总条数为4545；若在同一线段上有n图点，则有n(n-1) 2 条线段（用含n 的式子表示）n(n-1) 2
（3）若它所在的班级有60名学生，20年后参加同学聚会，见面时每两图同学之间握一次手，共握手1aa01aa0次． -
左图是用棋子摆成的“H”字．
（1）摆成第一个“H”字需要77个棋子；摆第x个“H”字需要的棋子数可用含x的代数式表示为5x+八5x+八；
（八）问第几个“H”字棋子数量正好是八01八个棋子？ -
图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样相同的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第1层、第2层、…、第n层，第n层小正方体个数记为S．解答下列问题：
（1）参照表格填空：
写出当n=4时，s=n 1 2 3 … S 1 3 6 … 1010；n=6时，s=2121；第n层时，s=n(n+1) 2 （用含n的式子表示）．n(n+1) 2
（2）当n=100时，求s的值． -
如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答有关问题：
（1）在第n个图中共有4n+64n+6块黑瓷砖，n（n+1）n（n+1）块白瓷砖；
（2）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？你能通过计算说明吗？
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有一张厚度为0.05毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.05毫米．
（1）对折3次后，厚度为多少毫米？
（2）对折n次后，厚度为多少毫米？
（3）对折n次后，可以得到多少条折痕？