数学
阅读下列计算过程：
计算：3+3
2
+3
3
+3
4
+3
5
+…+3
10
解：设S=3+3
2
+3
3
+3
4
+3
5
+…+3
10
…①
则3S=3×（3+3
2
+3
3
+3
4
+3
5
+…+3
10
）…②
②-①得：3S-S=（3
2
+3
3
+3
4
+…+3
11
）-（3+3
2
+3
3
+…+3
10
）
∴2S=3
11
-3
∴
S=
3
11
-3
2
=
3
11
2
-
3
2
请计算：4+4
2
+4
3
+4
4
+4
5
+…+4
2010
观察下面三行数：
3，-9，27，-81，243，-729，…①
0，-l2，24，-84，240，-732，…②
-1，3，-9，27，-81，243，…③
（1）第①行是按什么规律排列的？
（2）第②③行与第①行数有什么关系？请分别说明．
（3）取每行的第9个数，计算这三个数的和．
这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
（1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少米？（用幂表示）
（2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少？（简要写出探究过程．）
观察下列各式及其变形过程：
2
2
3
=
2
3
3
=
2(
2
2
-1)+2
2
2
-1
=
2+
2
3
（1）按上述等式及其验证过程的基本思路，猜想
3
3
8
的变形结果并进行证明；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，n≥2）表示的算式，并证明；
（3）依上面规律，写出用n表示下列各式的规律：
2
2
5
=
2-
2
5
，
3
3
10
=
3-
3
10
，…（不要求证明）．
（1）先计算这三题：1+2+2
2
=
7
7
；1+2+2
2
+2
3
=
15
15
；1+2+2
2
+2
3
+2
4
=
31
31
；
（现在你一定得到某个规律了，接着完成以下的题目）
（2）计算：1+2+2
2
+2
3
+…+2
99
+2
100
=
2
101
-1
2
101
-1
．（计算结果允许保留指数形式）
数轴上点A对应的数是-1，B点对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行至C点，再立即返回到A点，共用了4秒钟．
（1）求点C对应的数；
（2）若小虫甲返回到A点后再作如下运动：第1次向右爬行2个单位，第2次向左爬行4个单位，第3次向右爬行6个单位，第4次向左爬行8个单位，…依次规律爬下去，求它第10次爬行所停在点所对应的数；
（3）若小虫甲返回到A后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从点C出发沿着数轴的负方向以每秒7个单位的速度爬行，设甲小虫对应的点为E点，乙小虫对应的点为F点，设点A、E、F、B所对应的数分别是x
A
、x
E
、x
F
、x
B
，当运动时间t不超过1秒时，则下列结论：①|x
A
-x
E
|+|x
E
-x
F
|-|x
F
-x
B
|不变；②|x
A
-x
E
|-|x
E
-x
F
|+|x
F
-x
B
|不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．
一列数按一定规律列成-2，4，-8，16，-32，64，…，其中某三个相邻的数的和是-24576，求这三个数．
观察下列等式：①
2+
2
3
=2
2
3
，②
3+
3
8
=3
3
8
，③
4+
4
15
=4
4
15
，④
5+
5
24
=5
5
24
…
（1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性．
观察下面三行数．并按规律填空：
①k，-0，8，-16，
3k
3k
，
-60
-60
，…；
②-1，k，-0，8，
-16
-16
，
3k
3k
，…；
③3，-3，9，-1二，
33
33
，
-63
-63
，…；
（1）第①行数按什么规律排列？
（k）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
（1）观察一列数a
1
=3，a
2
=9，a
3
=27，a
4
=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是
3
3
；根据此规律，如果a
n
（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a
6
=
3
6
3
6
，a
n
=
3
n
3
n
；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2
2
+2
3
+…+2
9
的值，可令S
10
=1+2+2
2
+2
3
+…+2
9
①将①式两边同乘以2，得
2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
9
+2
10
2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
9
+2
10
②，由②减去①式，得S
10
=
2
10
-1
2
10
-1
．
（3）若（1）中数列共有30项，设S
30
=3+9+27+81+…+a
30
，请利用上述规律和方法计算S
30
的值．
（4）设一列数1，2，4，8，…，2
n-1
的和为S
n
，则S
n
的值为
2
n
-1
2
n
-1
．
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