试题
题目：
（1）观察一列数a
1
=3，a
2
=9，a
3
=27，a
4
=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是
3
3
；根据此规律，如果a
n
（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a
6
=
3
6
3
6
，a
n
=
3
n
3
n
；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2
2
+2
3
+…+2
9
的值，可令S
10
=1+2+2
2
+2
3
+…+2
9
①将①式两边同乘以2，得
2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
9
+2
10
2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
9
+2
10
②，由②减去①式，得S
10
=
2
10
-1
2
10
-1
．
（3）若（1）中数列共有30项，设S
30
=3+9+27+81+…+a
30
，请利用上述规律和方法计算S
30
的值．
（4）设一列数1，2，4，8，…，2
n-1
的和为S
n
，则S
n
的值为
2
n
-1
2
n
-1
．
答案
3
3
6
3
n
2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
9
+2
10
2
10
-1
2
n
-1
解：（1）∵9÷3=3，27÷9=3，81÷27=3，
∴这个常数是3，
∵a
1
=3=3
1
，a
2
=9=3
2
，a
3
=27=3
3
，a
4
=81=3
4
，…，
∴a
6
=3
6
，a
n
=3
n
；
（2）∵S
10
=1+2+2
2
+2
3
+…+2
9
，①
∴①式两边同乘以2得，2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
10
，②
②-①得，S
10
=2
10
-1；
（3）∵S
30
=3+9+27+81+…+3
30
，①
∴3S
30
=9+27+81+…+3
31
，②
②-①得，2S
30
=3
31
-3，
∴S
30
=
1
2
（3
31
-3）=
3
31
-3
2
；
（4）∵S
n
=1+2+4+8+…+2
n-1
的和为S
n
，
∴2S
n
=2+2
2
+2
3
+…+2
n
，
∴S
n
=2S
n
-S
n
=2+2
2
+2
3
+…+2
n
-（1+2+4+8+…+2
n-1
）
=2
n
-1，
故答案为：（1）3，3
6
，3
n
；（2）2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
10
+2
11
，2
11
-1；（4）2
n
-1．
考点梳理
考点
分析
点评
规律型：数字的变化类．
（1）观察不难发现，后一个数是前一个数的3倍，然后解答即可；
（2）根据运算过程计算即可得解；
（3）根据（2）的方法，等式两边都乘以3，然后相减进行计算即可得解；
（4）把所列等式两边都乘以2，然后相减即可得解．
此题主要考查了数字变化规律，读懂题目信息并理解数列和的求解求解思路是解题的关键．
找相似题
（2013·南平）给定一列按规律排列的数：
1
2
，
2
5
，
3
10
，
4
17
，…
，则这列数的第6个数是（ ）
（2011·綦江县）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中 所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为（ ）
3
a
b
c
-1
2
…
（2011·济南）观察下列各式：
（1）1=1
2
；（2）2+3+4=3
2
；（3）3+4+5+6+7=5
2
；（4）4+5+6+7+8+9+10=7
2
； …
请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）
（2010·永州）将一个正整数n输入一台机器内会产生出
n(n+1)
2
的个位数字．若给该机器输入初始数a，将所产生的第一个数字记为a
1
；再输入a
1
，将所产生的第二个数字记为a
2
；…；依此类推．现输入a=2，则a
2010
是（ ）
（2010·深圳）观察下来算式，用你所发现的规律得出2
2010
的末位数字是（ ）
2
1
=2，2
2
=4，2
3
=8，2
4
=16，2
5
=32，2
6
=64，2
7
=128，2
8
=256，