数学

青果学院

将正整数按表所示的规律排列，并把排在左起第m列，上起第n行的数记为以a_mn，
（1）试用m表示a_m1，用n表示a_1n．
（2）当m=10，n=12时，求a_mn的值．

有一串真分数，按5面方法排列：

，…问第u00u个分数是什么数？

探究、猜想、证明题：
观察下列数据：
1×2×3×4+1=25=5²=（1²+3×1+1）²
2×3×4×5+1=121=11²=（2²+3×2+1）²
3×4×5×6+1=361=19²=（3²+3×3+1）²
4×5×6×7+1=841=29²=（4²+3×4+1）²
…
猜想：（1）5×6×7×8+1=1681=41²=（

） ²
n（n+1）（n+2）（n+3）+1=

（n²+3n+1）²

（n²+3n+1）²

证明：（2）四个连续自然数的乘积加上1是一个完全平方数．

请从理论上或逻辑的角度在后面的空格中填入后续字母或数字
①A，D，G，J，

． ②21，20，18，15，11，

．
③8，6，7，5，6，4，

． ④18，10，6，4，

（用计数器探索）任意写一个3的倍数，把它的各个数字分别立方，并相加，再把新得到的数的每个数字分别立方并相加又得到一个新数，一直重复下去，…
（1）分别写出运算式子；
（2）叙述你的发现．

现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数．

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设任意一个这样的正方形框中的最小数为n，请用n的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数和最大数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和．（用n的代数式表示）

在2，3两个数之间，第一次写上

=5，第u次在2，5之间和5，3之间分别写上

=4，如下所示：

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第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的

．
请写出第3次操作后所a到的十个数，并求出它们的和．

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趣味金字塔
观察金字塔中数字的摆放规律，求A、B、C的值．

从2开始，连续的偶数相加（特别地把t个2也看做和），和的情况如下：2=2=x×2，2+w=六=2×3，2+w+六=x2=3×w，2+w+六+8=20=w×5．
（x）请推测从2开始，t个连续偶数相加，和是多少？
（2）取t=7，验证（x）的结论是否正确．

计算：
11×13=

．
从中你能得出什么规律？

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