试题

题目：
探究、猜想、证明题：
观察下列数据：
1×2×3×4+1=25=52=（12+3×1+1）2
2×3×4×5+1=121=112=（22+3×2+1）2
3×4×5×6+1=361=192=（32+3×3+1）2
4×5×6×7+1=841=292=（42+3×4+1）2
…
猜想：（1）5×6×7×8+1=1681=412=（
5
5
2+
15
15
+
1
1
） 2 
 n（n+1）（n+2）（n+3）+1=
（n2+3n+1）2
（n2+3n+1）2
             
证明：（2）四个连续自然数的乘积加上1是一个完全平方数．
答案
5

15

1

（n2+3n+1）2

解：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2；2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2；3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2，4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2，
得出规律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3×n+1）2，（n≥1），
∴5×6×7×8+1=412=（52+3×5+1）2．
（2）根据（1）得出的结论得出：
n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=n（n+3）（n+1）（n+2）+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2．
故答案为：5、15、1、（n2+3n+1）2．
考点梳理
完全平方数；规律型：数字的变化类．
（1）观察下列各式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2；2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2；3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2，4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2，得出规律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3×n+1）2，（n≥1），所以可得出5×6×7×8+1=（52+3×5+1）2=412；
（2）根据（1）得出的规律可得出结论．
此题考查了完全平方数的知识，解答本题的关键是发现规律为n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2（n≥1），一定要通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，难度较大．
规律型．
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