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（2012·邢台二模）如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上．求证：
（1）AE=BD；
（2）△BOE∽△COD． -
（2012·南昌模拟）已知：如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC2=AD·AB．
（1）试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）若AB=1，求AC的值． -
（2011·温州一模）如图1，矩形ABCD中，AB=21，AD=12，E是CD边上的一点，DE=16，M是BC边上的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒1单位长度的速度向终点B运动．设动点P的运动时间是t秒；
（1）求线段AE的长；
（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；
（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．
①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；
②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）． -
（2011·北塘区二模）已知，在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y，
（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当△NPF的面积为32时，求x的值；
（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？若能请求x的值；若不能，请说明理由．
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（2011·鞍山一模）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．
（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：
（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明；三三角形角形 角的已知量 a b b+c a 图2 ∠A=2∠B=90° 图3 ∠A=2∠B=60°
（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长． （直接写出结论即可） -
（2010·宣城二模）如图，∠AOB=60°，P、Q两点分别由O点沿OA、OB方向同时移动，移动速度分别为a米/秒和b米/
秒，过P、Q分别作PM⊥OB于M，QN⊥OA于N，求：
（1）△POM与△QON的周长之比与面积之比；
（2）若在移动过程中，P与N重合时，求
的值．a b -
（2010·三河市一模）已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点O，直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段AB，AD交于点M，N（不与点B，A，D重合）． 设DN=x，四边形AMPN的面积为y．在下面情况下，y随x的变化而变化吗？若不变，请求出面积y的值；若变化，请求出y与x的关系式．
（1）如图1，点P与点O重合；
（2）如图2，点P在正方形的对角线AC上，且AP=2PC；
（3）如图3，点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB．
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（2010·淮北模拟）如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，
（1）求证：△AFE∽△ABC；
（2）若∠A=60°时，求△AFE与△ABC面积之比． -
（2010·虹口区二模）如图3，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE=CD，DB延长线交AE于点F．
（1）求图1中∠AFB度数，并证明CD2=BD·EF；
（2）图2中∠AFB的度数为90°90°，图3中∠AFB度数为108°108°，在图2、图3中，（1）中的等式成立成立；（填“成立”或“不成立”，不必证明）
（3）若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为(n-2)180° n ．（可用含n的代数式表示，不必证明）(n-2)180° n 
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（2010·奉贤区一模）如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG=45°，AC与MG的延长线相交于点F．
（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；
（2）连接结EG，当AE=3时，求EG的长．