试题

（2011·北塘区二模）已知，在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y，
（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当△NPF的面积为32时，求x的值；
（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？若能请求x的值；若不能，请说明理由．

解：（1）∵四边形BEFG、DMNK、ABCD是正方形，
∴∠E=∠K=90°，AE∥MC，MC∥NK，
∴AE∥NK，
∴∠KNA=∠EAF，
∴△KNA∽△EAF，
∴

NK

EA

=

KA

EF

，
即

y

x+6

=

y-6

x

，
∴y=x+6（0＜x≤6）；

（2）由（1）可知：NK=AE，
∵四边形DMNK是正方形，
∴AP∥NM，
∴

FP

PM

=

AF

AN

=1，
∴AN=AF，
∵NK=AE，∠K=∠E，
∴△KNA≌△EAF，
∴FP=PM，
∴S_△MNP=S_△NPF=32，
∴S_{正方形DMNK}=2S_△MNP=64，
∴y=8，
∴x=2；

（3）连接PG，延长FG交AD于H点，则GH⊥AD．
易知：AP=

y

2

，AH=x，PH=

y

2

-x；
HG=6；PG=AP+GF=

y

2

+x．
①当两圆外切时，在Rt△GHP中，PH²+HG²=PG²即(

y

2

-x)2+62=(

y

2

+x)2，
∵y=x+6，
代入整理得：x²+6x-18=0，
解得：x=-3±3

3

（负值舍去），
②当两圆内切时，在Rt△GHP中，PH²+HG²=PG²即(

y

2

-x)2+62=(

y

2

-x)2，
∵y=x+6，
代入整理得：36=0，
方程无解，
所以，当x=3

3

-3时，这两个圆相切．
解：（1）∵四边形BEFG、DMNK、ABCD是正方形，
∴∠E=∠K=90°，AE∥MC，MC∥NK，
∴AE∥NK，
∴∠KNA=∠EAF，
∴△KNA∽△EAF，
∴

NK

EA

=

KA

EF

，
即

y

x+6

=

y-6

x

，
∴y=x+6（0＜x≤6）；

（2）由（1）可知：NK=AE，
∵四边形DMNK是正方形，
∴AP∥NM，
∴

FP

PM

=

AF

AN

=1，
∴AN=AF，
∵NK=AE，∠K=∠E，
∴△KNA≌△EAF，
∴FP=PM，
∴S_△MNP=S_△NPF=32，
∴S_{正方形DMNK}=2S_△MNP=64，
∴y=8，
∴x=2；

（3）连接PG，延长FG交AD于H点，则GH⊥AD．
易知：AP=

y

2

，AH=x，PH=

y

2

-x；
HG=6；PG=AP+GF=

y

2

+x．
①当两圆外切时，在Rt△GHP中，PH²+HG²=PG²即(

y

2

-x)2+62=(

y

2

+x)2，
∵y=x+6，
代入整理得：x²+6x-18=0，
解得：x=-3±3

3

（负值舍去），
②当两圆内切时，在Rt△GHP中，PH²+HG²=PG²即(

y

2

-x)2+62=(

y

2

-x)2，
∵y=x+6，
代入整理得：36=0，
方程无解，
所以，当x=3

3

-3时，这两个圆相切．