试题

（2012·南昌模拟）已知：如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC²=AD·AB．
（1）试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）若AB=1，求AC的值．

（1）证明：∵AC²=AD·AB，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B=36°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ACD=∠B=36°，
∴三角形ADC是等腰三角形，
∵∠BDC=∠A+∠ACD=72°，
∵∠B=36°，
∴∠BCD=180-36-72=72°，
∴∠BDC=∠BCD，
∴三角形BCD是等腰三角形．

（2）解：∵AC=BC，BD=BC，
∴AC=BD，
∴AD=1-AC，
∵AC²=AD·AB，
∴AC²=1-AC，
解得：AC=

-1+ 5

2

（AC＞0）．
（1）证明：∵AC²=AD·AB，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B=36°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ACD=∠B=36°，
∴三角形ADC是等腰三角形，
∵∠BDC=∠A+∠ACD=72°，
∵∠B=36°，
∴∠BCD=180-36-72=72°，
∴∠BDC=∠BCD，
∴三角形BCD是等腰三角形．

（2）解：∵AC=BC，BD=BC，
∴AC=BD，
∴AD=1-AC，
∵AC²=AD·AB，
∴AC²=1-AC，
解得：AC=

-1+ 5

2

（AC＞0）．