试题

（2010·奉贤区一模）如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG=45°，AC与MG的延长线相交于点F．
（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；
（2）连接结EG，当AE=3时，求EG的长．

解：（1）一定相似的三角形：△AEM∽△BMG，△FEM∽△FMA，（2分）
以下证明△AEM∽△BMG
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．（1分）
∵∠EMB=∠EMG+∠GMB=∠A+∠AEM，
∵∠EMG=45°，
∴∠AEM=∠BMG．（1分）
∴△AEM∽△BMG．（2分）

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=4

2

．（1分）
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=2

2

．
∵△AME∽△BGM，
∴

AE

BM

=

AM

BG

∴

3

2 2

=

2 2

BG

．
∴BG=

8

3

．（2分）
∴CG=4-

8

3

=

4

3

，CE=4-3=1．（2分）
∴EG=

CE2+CG2

=

5

3

．（1分）
解：（1）一定相似的三角形：△AEM∽△BMG，△FEM∽△FMA，（2分）
以下证明△AEM∽△BMG
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．（1分）
∵∠EMB=∠EMG+∠GMB=∠A+∠AEM，
∵∠EMG=45°，
∴∠AEM=∠BMG．（1分）
∴△AEM∽△BMG．（2分）

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=4

2

．（1分）
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=2

2

．
∵△AME∽△BGM，
∴

AE

BM

=

AM

BG

∴

3

2 2

=

2 2

BG

．
∴BG=

8

3

．（2分）
∴CG=4-

8

3

=

4

3

，CE=4-3=1．（2分）
∴EG=

CE2+CG2

=

5

3

．（1分）