数学

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设一次函数y=0.5x-2的图象为直线m，m与x轴、y轴分别交于点A、B．
①求点A、B的坐标；
②设过点P（3，0）的直线n与y轴的正半轴相交于点C，若以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求点C的坐标．

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如图，已知直线y₁=2x-3与y₂=-x+3，在平面直角坐标系中相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）连接0P，作PA⊥x轴，垂足为A，将△OPA绕点A顺时针旋转90°，得△O′P′A．求直线O′P′的函数关系式；
（3）在直线O′P′上是否存在点Q，使△QOP′与△OPA相似？若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点

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的坐标是（1，0）．
（1）直线y=

经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；
（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若直线l₁经过点F（-

，0）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l₁于点N，求△NMF的面积．

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如图，点O是坐标系原点，直线y=kx+b与x轴交于点A，与直线y=-x+5交于点B，点B的纵坐标是3，且AB=5，直线y=-x+5与y轴交于点C．
（1）求直线y=kx+b的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△POC的面积是△BOC面积的一半？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．

如图，直线y=-

x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为直角边在第一象

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限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，若点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）求Rt△ABC的面积；
（2）说明不论a取任何实数，△BOP的面积都是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

如图，直角梯形OABC，A（7，0），C（0，4），AB=5，动点P以每秒1个单位的速度沿C-O-A的折线运动，直线MQ始终与x轴垂直，且同时从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A-O平移，与折线ABC交于点Q，与x轴交于点M，P、M中有一个到达终点，另一个随即而停止，运动的时间为t（秒）
（1）求：点B的坐标；
（2）设△CPQ的面积为S，求：S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若动线段PQ的中点N的坐标为（x，y），在0≤t≤3范围内求出y与x的函数关系式和动点N走过的路程．

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如图，直线OP：y=

x上有一个动点A，过A作AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，翻折∠ABO与∠ACO，使点B，C分别落在OA上点E，G处，折痕分别为AD和OF．
（1）判断四边形AFOD是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）当点A在直线OP上运动时，直线y=kx+b经过点D和F，试判断k与b是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出k与b的值．

探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：
（1）请就图①证明上述“模块”的合理性．已知：∠A=∠D=∠BCE=90°，求证：△ABC∽△DCE；
（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：
①如图②，已知点A（-2，1），点B在直线y=-2x+3上运动，若∠AOB=90°，求此时点B的坐标；
②如图③，过点A（-2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y=-2x+3于点C、D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标．

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阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0）的图象为直线l₁，一次函数y=k₂x+b₂（k₂≠0）的图象为直线l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我们就称直线l₁与直线l₂互相平行．
解答下面的问题：
（1）已知一次函数y=-2x的图象为直线l₁，求过点P（1，4）且与已知直线l₁平行的直线l₂的函数表达式，并在坐标系中画出直线l₁和l₂的图象；
（2）设直线l₂分别与y轴、x轴交于点A、B，过坐标原点O作OC⊥AB，垂足为C，求l₁和l₂两平行线之间的距离OC的长；
（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值，并求取得最小值时Q点的坐标．

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在平面直角坐标系中，直线L：y=-

+4分别交x轴、y轴于点A、B，在X轴的正半轴上截取OB′=OB，在Y轴的负半轴上截取OA′=OA，如图所示．
（1）求直线A′B′的解析式．
（2）若直线．A′B′与直线L相交于点C，求C点的坐标．

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