试题

如图，直线y=-

1

2

x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，若点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）求Rt△ABC的面积；
（2）说明不论a取任何实数，△BOP的面积都是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

解：（1）令y=-

1

2

x+1中x=0，得点B坐标为（0，1）；
令y=0，得点A坐标为（2，0），
由勾股定理可得AB=

5

，
故可得S_△ABC=

1

2

AB·AC=

5

2

；

（2）不论a取任何实数，三角形BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高，
所以S_△BOP=

1

2

为常数；

（3）分两种情况：
①当点P在第四象限时，
∵S_△ABO=1，S_△APO=-a，S_△BOP=

1

2

，
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=

5

2

，
即1-a-

1

2

=

5

2

，
解得a=-2，
②当点P在第一象限时，
∵S_△ABO=1，S_△APO=a，S_△BOP=

1

2

，
∴S_△ABP=S_△BOP+S_△APO-S_△ABO=S_△ABC=

5

2

，
即

1

2

+a-1=

5

2

，
解得a=3．
综上可得a=-2或3．
解：（1）令y=-

1

2

x+1中x=0，得点B坐标为（0，1）；
令y=0，得点A坐标为（2，0），
由勾股定理可得AB=

5

，
故可得S_△ABC=

1

2

AB·AC=

5

2

；

（2）不论a取任何实数，三角形BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高，
所以S_△BOP=

1

2

为常数；

（3）分两种情况：
①当点P在第四象限时，
∵S_△ABO=1，S_△APO=-a，S_△BOP=

1

2

，
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=

5

2

，
即1-a-

1

2

=

5

2

，
解得a=-2，
②当点P在第一象限时，
∵S_△ABO=1，S_△APO=a，S_△BOP=

1

2

，
∴S_△ABP=S_△BOP+S_△APO-S_△ABO=S_△ABC=

5

2

，
即

1

2

+a-1=

5

2

，
解得a=3．
综上可得a=-2或3．