试题

阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0）的图象为直线l₁，一次函数y=k₂x+b₂（k₂≠0）的图象为直线l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我们就称直线l₁与直线l₂互相平行．
解答下面的问题：
（1）已知一次函数y=-2x的图象为直线l₁，求过点P（1，4）且与已知直线l₁平行的直线l₂的函数表达式，并在坐标系中画出直线l₁和l₂的图象；
（2）设直线l₂分别与y轴、x轴交于点A、B，过坐标原点O作OC⊥AB，垂足为C，求l₁和l₂两平行线之间的距离OC的长；
（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值，并求取得最小值时Q点的坐标．

解：（1）∵l₁∥l₂，
∴设直线l₂的解析式为y=-2x+b，把点P（1，4）代入得，4=-2+b，解得：b=6，
∴y=-2x+6，
画图如图所示：


（2）直线l₂与y轴、x轴的交点A、B的坐标，分别为（0，6）（3，0）；
所以OA=6，OB=3，则AB=3

5

，
因为OA×OB=AB×OC，
所以OC=

6

5

=

6 5

5

；
（3）∵B关于y轴的对称点B′（-3，0），连结B′P交y轴于Q，
∴QP+QB的最小值为4

2

，
∵直线B′P的解析式为y=x+3，
∴Q（0，3）．
解：（1）∵l₁∥l₂，
∴设直线l₂的解析式为y=-2x+b，把点P（1，4）代入得，4=-2+b，解得：b=6，
∴y=-2x+6，
画图如图所示：


（2）直线l₂与y轴、x轴的交点A、B的坐标，分别为（0，6）（3，0）；
所以OA=6，OB=3，则AB=3

5

，
因为OA×OB=AB×OC，
所以OC=

6

5

=

6 5

5

；
（3）∵B关于y轴的对称点B′（-3，0），连结B′P交y轴于Q，
∴QP+QB的最小值为4

2

，
∵直线B′P的解析式为y=x+3，
∴Q（0，3）．