试题

如图，点O是坐标系原点，直线y=kx+b与x轴交于点A，与直线y=-x+5交于点B，点B的纵坐标是3，且AB=5，直线y=-x+5与y轴交于点C．
（1）求直线y=kx+b的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△POC的面积是△BOC面积的一半？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．

解：（1）过B作BD⊥x轴于D，设直线y=-x+5与x轴交与点E，
∵把y=3代入y=-x+5，
得：x=2，
∴点B的坐标是B（2，3），
∵BD=3，AB=5，
∴AD=

AB2-BD2

=4，
∴D的坐标为：（2，0），
∴点A的坐标是A₁（6，0）或A₂（-2，0），
把A₁（6，0），B（2，3）代入y=kx+b中得：

6k+b=0 2k+b=3

，
解得：

k=- 3 4 b= 9 2

，
故此时直线y=kx+b的解析式为：y=-

3

4

x+

9

2

；
把A₂（-2，0），B（2，3）代入y=kx+b中得：

-2k+b=0 2k+b=3

，
解得：

k= 3 4 b= 3 2

，
故此时直线y=kx+b的解析式为：y=

3

4

x+

3

2

；
综上可知，直线y=kx+b的解析式为：y=-

3

4

x+

9

2

或y=

3

4

x+

3

2

；

（2）∵点E（5，0），点A₁（6，0），A₂（-2，0），C（0，5），
∴A₁E=OA₁-OE=6-5=1，A₂E=OE+OA₂=2+5=7，
S_△A1BC=S_△A1CE-S_△A1BE=

1

2

×1×5-

1

2

×1×3=1，
S_△A2BC=S_△A2CE-S_△A2BE=

1

2

×7×5-

1

2

×7×3=7；
故△ABC的面积为1或7；

（3）存在点P使△POC的面积是△BOC面积的一半．
理由：∵S_△BOC=

1

2

OC·|x_B|，S_△POC=

1

2

OC·|x_P|，
∵B的坐标为（2，3），
∴要使S_△POC=

1

2

S_△BOC，则需|x_P|=

1

2

|x_B|=

1

2

×2=1，
∴x_P=±1，
当x=1时，y=-1+5=4，
∴P（1，4）；
当x=-1时，y=-（-1）+5=6，
∴P（-1，6）；
∴点P的坐标为（1，4）或（-1，6）．
解：（1）过B作BD⊥x轴于D，设直线y=-x+5与x轴交与点E，
∵把y=3代入y=-x+5，
得：x=2，
∴点B的坐标是B（2，3），
∵BD=3，AB=5，
∴AD=

AB2-BD2

=4，
∴D的坐标为：（2，0），
∴点A的坐标是A₁（6，0）或A₂（-2，0），
把A₁（6，0），B（2，3）代入y=kx+b中得：

6k+b=0 2k+b=3

，
解得：

k=- 3 4 b= 9 2

，
故此时直线y=kx+b的解析式为：y=-

3

4

x+

9

2

；
把A₂（-2，0），B（2，3）代入y=kx+b中得：

-2k+b=0 2k+b=3

，
解得：

k= 3 4 b= 3 2

，
故此时直线y=kx+b的解析式为：y=

3

4

x+

3

2

；
综上可知，直线y=kx+b的解析式为：y=-

3

4

x+

9

2

或y=

3

4

x+

3

2

；

（2）∵点E（5，0），点A₁（6，0），A₂（-2，0），C（0，5），
∴A₁E=OA₁-OE=6-5=1，A₂E=OE+OA₂=2+5=7，
S_△A1BC=S_△A1CE-S_△A1BE=

1

2

×1×5-

1

2

×1×3=1，
S_△A2BC=S_△A2CE-S_△A2BE=

1

2

×7×5-

1

2

×7×3=7；
故△ABC的面积为1或7；

（3）存在点P使△POC的面积是△BOC面积的一半．
理由：∵S_△BOC=

1

2

OC·|x_B|，S_△POC=

1

2

OC·|x_P|，
∵B的坐标为（2，3），
∴要使S_△POC=

1

2

S_△BOC，则需|x_P|=

1

2

|x_B|=

1

2

×2=1，
∴x_P=±1，
当x=1时，y=-1+5=4，
∴P（1，4）；
当x=-1时，y=-（-1）+5=6，
∴P（-1，6）；
∴点P的坐标为（1，4）或（-1，6）．