数学

已知在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6

，CD⊥AB于D，点E在直线CD上，DE=

CD，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点．
（1）如图1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：

；
（2）在（1）的条件下，当点F在线段AD上，且AF=2FD时，求证：∠CNE=45°；
（3）当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F，使得∠CNE=45°？若存在，请直接写出AF的长度；若不存在，请说明理由．

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如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K，设

=m．
（1）观察：如图2，当∠CDF=60°时，m的值等于

；如图3，当∠CDF=30°时，m的值等于

；
（2）如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，求证：m＞1．
（3）如果MK²+CK²=AM²，则∠CDF=

（直接写出结论）

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如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：AD²+AE²=DE²．

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如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，AE∥BC，F是AD的中点；
（1）说明AE=

BC；
（2）若AD=15，BC=8，求BE的长度．

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小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB=3cm，高OC=4cm，求这个圆锥形漏斗的侧面积．

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有一破损的水管，截面如图．
（1）请用直尺和圆规补全这个圆．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若水管直径d=20cm，水面宽度AB=16cm，求最大水深．

如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
（1）三边长分别为3，2

的三角形；
（2）一锐角为45°，面积为6的平行四边形；
（3）周长为20，面积为24的菱形．

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（1）如图1，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是弧

的中点，在直径CD上找一点，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（2）拓展延伸：如图2，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

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（A类12分）如图1，矩形ABCD沿着BE折叠后，点C落在AD边上的点F处．如果∠ABF=50°，求∠CBE的度数．
（B类13分）如图2，在△ABC中，已知AC=8cm，AB=6cm，E是AC上的点，DE平分∠BEC，且DE⊥BC，垂足为D，求△ABE的周长．
（C类14分）如图3，在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为E、F，且D是BC的中点，你认为线段EB与FC相等吗？如果相等，请说明理由．

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如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）求证：AP+HC=PH；
（3）当AP=1时，求PH的长．

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