试题

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K，设

AM+CK

MK

=m．
（1）观察：如图2，当∠CDF=60°时，m的值等于；如图3，当∠CDF=30°时，m的值等于；
（2）如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，求证：m＞1．
（3）如果MK²+CK²=AM²，则∠CDF=度，m=（直接写出结论）

（1）解：当∠CDF=60°时，如图2，
∵∠ACB=∠F=90°，∠CAD=30°，D为AB的中点，
∴DC=DA=DB，
∴∠KCD=30°，
∴∠CKD=90°，
∴KA=KC，
而AM=0，
∴m=

0+MK

MK

=1；
当∠CDF=30°时，如图3，
∴KC=KD，∠MKD=30°+30°=60°，
∵∠MDK=60°，
∴△DMK为等边三角形，
∴MK=KD=MD，∠KMD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠MDA=∠KMD-∠A=30°，
∴MA=MD，
∴MA=MK=KC，
∴m=

MK+MK

MK

=2；

（2）证明：作∠ADP=α，DP=DK，如图1，
∵在△ADP和△CDK中，

DA=DC ∠ADP=∠CDK DP=DK

，
∴△ADP≌△CDK（SAS），
∴AP=CK，
∵∠ADC=120°，∠MDK=60°，
∴∠ADM=120°-60°-α=60°-α，
∴∠MDP=60°-α+α=60°，
∵在△MDP和△MDK中，

MD=MD ∠MDP=∠MDK DP=DK

，
∴△MDP≌△MDK（SAS），
∴PM=MK，
∵AM+AP＞PM，
∴AM+KC＞MK，
∴m＞1；

（3）解：如图1，由（2）得PM=MK，AP=CK，
∵MK²+CK²=AM²，
∴PM²+AP²=AM²，
∴∠APM=90°，
∵∠MAD=30°，∠DAP=∠DCK=30°，
∴∠MAP=60°，
∴∠AMP=30°，
∴AM=2AP，MP=

3

AP，
∴AM=2CK，MP=

3

CK，
∴m=

2CK+CK

3 CK

=

3

；
∵△MDP≌△MDK，
∴∠KMD=∠PMD=

180°-30°

2

=75°，
∴∠MKD=180°-75°-60°=45°，
而∠MKD=∠KCD+∠CDK，
∴∠CDK=45°-30°=15°，即∠CDF=15°．
故答案为1，2；15；

3

．