试题

如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）求证：AP+HC=PH；
（3）当AP=1时，求PH的长．

（1）证明：∵PE=BE，
∴∠EPB=∠EBP，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠BPH=∠PBC．
又∵四边形ABCD为正方形
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．

（2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，
由（1）知，∠APB=∠BPH，
在△ABP与△QBP中，

∠A=∠BQP=90° ∠APB=∠BPH BP=BP

，
∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP=QP，BA=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，
∴△BCH和△BQH是直角三角形，
在Rt△BCH与Rt△BQH中，

BC=BQ BH=BH

∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），
∴CH=QH，
∴AP+HC=PH．

（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，
∴PD=3．
设QH=HC=x，则DH=4-x．
在Rt△PDH中，PD²+DH²=PH²，
即3²+（4-x）²=（x+1）²，
解得x=2.4，
∴PH=3.4．
（1）证明：∵PE=BE，
∴∠EPB=∠EBP，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠BPH=∠PBC．
又∵四边形ABCD为正方形
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．

（2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，
由（1）知，∠APB=∠BPH，
在△ABP与△QBP中，

∠A=∠BQP=90° ∠APB=∠BPH BP=BP

，
∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP=QP，BA=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，
∴△BCH和△BQH是直角三角形，
在Rt△BCH与Rt△BQH中，

BC=BQ BH=BH

∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），
∴CH=QH，
∴AP+HC=PH．

（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，
∴PD=3．
设QH=HC=x，则DH=4-x．
在Rt△PDH中，PD²+DH²=PH²，
即3²+（4-x）²=（x+1）²，
解得x=2.4，
∴PH=3.4．